多选 $f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2+bx$

题 12：已知 $ab\ne0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2+bx$，则（　　）

A. 对任意 $a$，$b$，$f(x)$ 存在唯一极值点

B. 对任意 $a$，$b$，曲线 $y=f(x)$ 过原点的切线有两条

C. 当 $a+b=-2$ 时，$f(x)$ 存在零点

D. 当 $a+b>0$ 时，$f\left(|x|\right)$ 的最小值为 1

【答案】ABD

【解析】

对于 A，由已知 $ab\ne0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2+bx$，可得 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$。

令 $g(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$，$\therefore\ g'(x)=a^2\mathrm e^{ax}+2>0$，

则 $g(x)$ 即 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$ 在 R 上单调递增。

令 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b=0$，则 $a\mathrm e^{ax}=-2x-b$。

当 $a>0$ 时，作出函数 $y=a\mathrm e^{ax}$，$y=-2x-b$ 的大致图像如图（递增指数曲线与递减直线恰有一个交点）；

当 $a<0$ 时，作出函数 $y=a\mathrm e^{ax}$，$y=-2x-b$ 的大致图像如图（递减指数曲线与递减直线恰有一个交点）。

可知 $y=a\mathrm e^{ax}$，$y=-2x-b$ 的图像总有一个交点，即 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b=0$ 总有一个根 $x_0$。

当 $x<x_0$ 时，$f'(x)<0$；当 $x>x_0$ 时，$f'(x)>0$。

此时 $f(x)$ 存在唯一极小值点，A 正确。

对于 B，由于 $f(0)=1$，故原点不在曲线 $f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2+bx$ 上，且 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$。

设切点为 $(m,n)$，$n=\mathrm e^{am}+m^2+bm$，则 $f'(m)=a\mathrm e^{am}+2m+b=\dfrac nm=\dfrac{\mathrm e^{am}+m^2+bm}{m}$，

即 $\mathrm e^{am}(am-1)+m^2=0$。

令 $h(m)=\mathrm e^{am}(am-1)+m^2$，$h'(m)=a\mathrm e^{am}(am-1)+a\mathrm e^{am}+2m=m\left(a^2\mathrm e^{am}+2\right)$。

当 $m<0$ 时，$h'(m)<0$，$h(m)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减；

当 $m>0$ 时，$h'(m)>0$，$h(m)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。

故 $h(m)_{\min}=h(0)=-1$。

当 $m\to-\infty$ 时，$\mathrm e^{am}(am-1)$ 的值趋近于 $0$，$m^2$ 趋近于无穷大，故 $h(m)$ 趋近于正无穷大；

当 $m\to+\infty$ 时，$\mathrm e^{am}(am-1)$ 的值趋近于正无穷大，$m^2$ 趋近于无穷大，故 $h(m)$ 趋近于正无穷大。

故 $h(m)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上各有一个零点，即 $\mathrm e^{am}(am-1)+m^2=0$ 有两个解。

故对任意 $a$，$b$，曲线 $y=f(x)$ 过原点的切线有两条，B 正确。

对于 C，当 $a+b=-2$ 时，$b=-2-a$，$f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2-(a+2)x$。

故 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x-a-2$，该函数为 R 上单调增函数（导函数 $a^2\mathrm e^{ax}+2>0$）。

$f'(0)=-2<0$，$f'(1)=a\mathrm e^a-a=a(\mathrm e^a-1)>0$，

故 $\exists s\in(0,1)$，使得 $f'(s)=0$，即 $\mathrm e^{as}=-\dfrac2as+1+\dfrac2a$。

结合 A 的分析可知，$f(x)$ 的极小值也即最小值为

令 $m(s)=-\dfrac2as+1+\dfrac2a+s^2-(a+2)s$，则 $m'(s)=2s-\left(a+\dfrac2a+2\right)$，且为增函数。

当 $a<0$ 时，$m'(0)=-\left(a+\dfrac2a+2\right)\ge2\sqrt2-2>0$，当且仅当 $a=-\sqrt2$ 时取等号。

故当 $s>0$ 时，$m'(s)>m'(0)>0$，则 $f(s)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。

故 $f(s)>f(0)=\dfrac2a+1$。令 $a=-3$，则 $f(0)=\dfrac2a+1=\dfrac13>0$，$\therefore\ f(s)>f(0)>0$。

此时 $f(x)$ 的最小值为 $f(s)>0$，$f(x)$ 无零点，C 错误。

对于 D，当 $a+b>0$ 时，$f\left(|x|\right)$ 为偶函数，考虑 $x>0$ 情况：

此时 $f\left(|x|\right)=f(x)=\mathrm e^{ax}+x^2+bx\ (x>0)$，$f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$。

结合 A 的分析可知 $f'(x)=a\mathrm e^{ax}+2x+b$ 在 R 上单调递增，$f'(0)=a+b>0$，

故 $x>0$ 时，$f'(x)>f'(0)>0$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。

故 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，$f\left(|x|\right)$ 为偶函数，

故 $f\left(|x|\right)_{\min}=f(0)=1$，D 正确。

故选：ABD