f(x)=xeˣ, g(x)=xlnx

12. 已知函数 $f(x)=xe^{x}$，$g(x)=x\ln x$，则下列说法正确的是

A. 函数 $f(x)$ 与函数 $g(x)$ 有相同的极小值

B. 若方程 $f(x)=a$ 有唯一实根，则 $a$ 的取值范围为 $a\ge 0$

C. 若方程 $g(x)=a$ 有两个不同的实根 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1}x_{2}>a^{2}$

D. 当 $x>0$ 时，若 $f(x_{1})=g(x_{2})=t$，则 $x_{1}x_{2}=t$ 成立

解析：

对于选项 A：$f'(x)=e^{x}(x+1)$，$x>-1$ 时 $f(x)$ 单增，$x<-1$ 时 $f(x)$ 单减，

$\therefore f(x)_{\min}=f(-1)=-\dfrac{1}{e}$；

$g'(x)=1+\ln x$，$0<x<\dfrac{1}{e}$ 时单减，$x>\dfrac{1}{e}$ 时单增，

$\therefore g(x)_{\min}=g\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}$。选项 A 正确。

对于选项 B：由上面运算可知 $a\ge 0$ 或 $a=-\dfrac{1}{e}$。选项 B 错误。

对于选项 C：易知 $0<x_{1}<\dfrac{1}{e}<x_{2}$，

$x_{1}\ln x_{1}=x_{2}\ln x_{2}=a$，

$\therefore \ln x_{1}=\dfrac{a}{x_{1}}$，$\ln x_{2}=\dfrac{a}{x_{2}}$，

$\therefore \ln\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=a\cdot\dfrac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}$，$a=\dfrac{x_{1}x_{2}\ln\dfrac{x_{1}}{x_{2}}}{x_{2}-x_{1}}$。

若 $x_{1}x_{2}>a^{2}$，则 $x_{1}x_{2}>\left(\dfrac{x_{1}x_{2}\ln\dfrac{x_{1}}{x_{2}}}{x_{2}-x_{1}}\right)^{2}$，

$\therefore \left(\ln\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}<\dfrac{(x_{2}-x_{1})^{2}}{x_{1}x_{2}}$。

设 $t=\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\in(0,1)$，则 $\ln^{2}t<t+\dfrac{1}{t}-2$。

设 $h(t)=\ln^{2}t-t-\dfrac{1}{t}+2$，则 $h'(t)=\dfrac{2\ln t-t+\dfrac{1}{t}}{t}$；

设 $m(t)=2\ln t-t+\dfrac{1}{t}$，则 $m'(t)=\dfrac{-(t-1)^{2}}{t^{2}}<0$，

$\because m(1)=0$，

$\therefore m(t)>0$，

$\therefore h'(t)>0$，

$\because h(1)=0$，

$\therefore h(t)<0$，

$\therefore x_{1}x_{2}>a^{2}$。选项 C 正确。

对于选项 D：由函数图像易知 $e^{x_{1}}>1$，$x_{2}>1$，

$x_{1}e^{x_{1}}=e^{x_{1}}\ln e^{x_{1}}=x_{2}\ln x_{2}=t$，

$\therefore g\left(e^{x_{1}}\right)=g(x_{2})$，

$\therefore x_{2}=e^{x_{1}}$，

$\therefore x_{1}x_{2}=x_{1}e^{x_{1}}=t$。选项 D 正确。

（综上，正确选项为 ACD。）