以 2 为底 x 对数与以 2 为底 y 的对数乘积的最值

原题干图片字迹严重重叠、无法辨认，以下题干依据文档标题与解答过程反推。

题目： 已知 $(1+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{4y^2+1}-2y)=x$，求 $(\log_2 x)(\log_2 y)$ 的最大值。

解：

$\because (1+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{4y^2+1}-2y)=x$

$\therefore \sqrt{4y^2+1}-2y=\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x(\sqrt{x^2+1}-1)}{x^2}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$

$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{4y^2+1}-2y}=\sqrt{4y^2+1}+2y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}-1}=\dfrac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{x^2}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}$

$\therefore 2\sqrt{4y^2+1}=\dfrac{2\sqrt{x^2+1}}{x}$

$\therefore 4y^2+1=1+\dfrac{1}{x^2}$

$\therefore 2xy=1$

$\therefore (\log_2 x)(\log_2 y)\leq\left(\dfrac{\log_2 x+\log_2 y}{2}\right)^2=\dfrac{(\log_2 xy)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$

（由 $xy=\dfrac{1}{2}$ 得 $\log_2 x+\log_2 y=\log_2\dfrac{1}{2}=-1$，故最大值为 $\dfrac{1}{4}$。）