f(x)图像关于 x=-2 对称 4个零点

16. 若函数 $f(x)=\left|\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)\right|-c\ (c\neq 0)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，且 $f(x)$ 有且仅有 4 个零点，则 $a+b+c$ 的值为．

（数学试题 第2页（共4页））

简析

由 $f(x)=\left|\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)\right|-c=0$ 得

易知 $x=\pm 1$ 为函数 $f(x)$ 两个零点．

$\because f(x)$ 图像关于直线 $x=-2$ 对称，

$\therefore x=-3,-5$ 为函数 $f(x)$ 另两个零点．

$\therefore|(-8)(9-3a+b)|=|(-24)(25-5a+b)|=0$

$\therefore 3a-b=9,\quad 5a-b=25$

$\therefore a=8,\ b=15$

画出 $g(x)=\left|\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+8x+15\right)\right|$ 图像如下所示．

易知函数 $f(x)$ 有 4 个零点时，需函数图像向下平移 16 个单位，故 $c=16$．

（图像：$g(x)=\left|\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+8x+15\right)\right|$ 的图像，在 $x=-5,-3,-1,1$ 处触零，两个峰高约为 16）