求 x/y

题目： 已知 $x=4^{\log_6 x}-9^{\log_6 x}$，$y=9^{\log_4 y}+6^{\log_4 y}$，则 $\dfrac{x}{y}$ 的值为（　　）

A. $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$　　B. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$　　C. $\sqrt{5}+1$　　D. $\sqrt{5}-1$

解：

设 $m=\log_6 x,\ n=\log_4 y$，则 $x=6^m,\ y=4^n$

$\therefore 6^m=4^m-9^m,\quad 4^n=9^n+6^n$

$\therefore 4^m=6^m+9^m,\quad 4^n=9^n+6^n$

令 $4^t=9^t+6^t$，则 $\left(\dfrac{9}{4}\right)^t+\left(\dfrac{6}{4}\right)^t-1=0$

$\therefore \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^t\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^t-1=0$

$\therefore \left(\dfrac{3}{2}\right)^t=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍）

$\therefore\left(\dfrac{3}{2}\right)^m=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\therefore \dfrac{x}{y}=\dfrac{6^m}{4^n}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

（即 $4^m=4^n$ 得 $m=n$，故 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{6^m}{4^m}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^m$。答案选 B。）