求 $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{8}{1-\cos x}$ 的最小值
题干图字迹重叠严重，依解答反推题干（⟨注⟩：原题为 $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{8}{1-\cos x}$ 的最小值，$0<x<\pi$）。
解答
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{8}{1-\cos x}=\frac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}+\frac{8\left(\sin^{2}\dfrac{x}{2}+\cos^{2}\dfrac{x}{2}\right)}{2\sin^{2}\dfrac{x}{2}}$$
$$=\tan\frac{x}{2}+4\cdot\frac{1}{\tan^{2}\dfrac{x}{2}}+4$$
$\because\ 0<x<\pi$
$\therefore\ \tan\dfrac{x}{2}>0$
$$\therefore\ f(x)=\frac{\tan\dfrac{x}{2}}{2}+\frac{\tan\dfrac{x}{2}}{2}+\frac{4}{\tan^{2}\dfrac{x}{2}}+4\geqslant 3\sqrt[3]{1}+4=7$$
（当且仅当 $\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}}{2}=\dfrac{4}{\tan^{2}\dfrac{x}{2}}$，即 $\tan\dfrac{x}{2}=2$ 时等号成立）
答案： 最小值为 $7$