f(x)=lnx-ax 有两个不同极值点 x₁,x₂

12. 已知 $f(x)=\ln x-ax+\dfrac{a}{x}$ 有两个不同的极值点 $x_{1},x_{2}$，则（　　）

A. $x_{1}+x_{2}<2$　B. $f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>0$　C. $f(x_{1})+f(x_{2})=0$　D. $\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}<1-2a$

解析：

依题可知 $f'(x)=\dfrac{1}{x}-a-\dfrac{a}{x^{2}}=\dfrac{x-ax^{2}-a}{x^{2}}=0$ 有两个正实根 $x_{1},x_{2}$，

$\therefore ax^{2}-x+a=0$ 有两个正实根 $x_{1},x_{2}$，

$\therefore \dfrac{1}{2a}>0$，$\Delta=1-4a^{2}>0$，$x_{1}+x_{2}=\dfrac{1}{a}$，$x_{1}x_{2}=1$，

$\therefore 0<a<\dfrac{1}{2}$，$x_{1}+x_{2}>2$，$x_{1}>1$，$x_{2}>1$（原文如此，由 $x_{1}x_{2}=1$ 知应为 $0<x_{1}<1<x_{2}$）。

对于选项 A：显然错误。

对于选项 B：$f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\ln\dfrac{1}{2a}+2a^{2}-\dfrac{1}{2}$。

设 $t=\dfrac{1}{2a}>1$，$g(t)=\ln t+\dfrac{1}{2t^{2}}-\dfrac{1}{2}$，则 $g'(t)=\dfrac{t^{2}-1}{t^{3}}>0$，

$\because g(1)=0$，

$\therefore f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=g(t)>0$，故选项 B 正确。

对于选项 C：$f(x_{1})+f(x_{2})=\ln x_{1}x_{2}-a(x_{1}+x_{2})+\dfrac{a(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}}=0$，

故选项 C 正确。

对于选项 D：$\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}-1+2a=\dfrac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}-1$。

设 $h(x)=\ln x\ (x>1)$，则 $h'(x)=\dfrac{1}{x}<1$，

$\therefore \dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}<1-2a$，故选项 D 正确。