广东省佛山市 2022－2023 学年高三上学期期末考试数学试卷
12. 已知函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域为 $R$，且 $f(x)-g(2-x)=-5$，$g(x)+f(x+2)=3$，若 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，且 $f(3)=-3$，则（ACD）
A. $g(1)=6$ B. $g(x)$ 图像关于点 $(0,4)$ 对称
C. $g(x)$ 是周期函数，且最小正周期为 $8$ D. $\displaystyle\sum_{k=1}^{22}g(k)=90$
解：(1) ∵ $g(x)+f(x+2)=3$
∴ $g(1)+f(3)=3$
∵ $f(3)=-3$
∴ $g(1)=6$
(2) ∵ $f(x)-g(2-x)=-5$
∴ $f(x+2)-g(-x)=-5$
∴ $g(x)+g(-x)=8$
∴ $g(x)$ 图像关于点 $(0,4)$ 对称
(3) ∵ $f(x)-g(2-x)=-5$
∴ $f(2-x)=g(x)-5$
∵ $f(x+2)=3-g(x)$
∴ $f(x+2)+f(2-x)=-2$
∴ $f(x)+f(4-x)=-2$
∴ $f(x)$ 图像关于点 $(2,-1)$ 对称
∵ $f(x)$ 图像关于直线 $x=1$ 对称
∴ $f(x)$ 最小正周期为 $4$
∴ $-f(x+2)+3$ 最小正周期为 $4$
∵ $g(x)=-f(x+2)+3$
∴ $g(x)$ 最小正周期为 $4$
(4) ∵ $f(x)$ 图像关于直线 $x=1$ 对称
∴ $f(-1)=f(3)=-3$
∵ $f(x)+f(4-x)=-2$
∴ $f(2)+f(2)=-2$，$f(0)+f(4)=-2$
∴ $f(2)=-1$，$f(0)=f(4)=-1$
∵ $f(x)=g(2-x)-5$
∴ $g(2)=f(0)+5=4$，$g(3)=f(-1)+5=2$，$g(4)=f(2)+5=4$
∴ $\displaystyle\sum_{k=1}^{22}g(k)=5(6+4+2+4)+g(1)+g(2)=80+6+4=90$
相似题 1 函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域均为 $R$，且 $f(x)+g(1-x)=3$，$g(x)-f(x-3)=5$，$y=g(x)$ 的图像关于 $x=1$ 对称，$g(1)=2$，则（ACD）
A. $f(3)=-1$ B. $g(3)=-1$ C. $g(-1)=g(3)$ D. $g(2)=-4f(1)$
相似题 2 已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的定义域均为 $R$，记 $g(x)=f'(x)$，$f(2x-1)+f(3-2x)=f(-2)$，$g(1-x)+g(-3x)=g\left(-\dfrac12\right)$，则（ACD）
A. $f(4)=0$ B. $g(2)=g(-1)$ C. $g\left(-\dfrac12\right)=0$ D. $g(2022)=g(0)$
相似题 3 已知 $f(x)$，$g(x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意 $x,y$ 满足 $f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$，且 $f(-2)=f(1)\neq 0$，下列说法正确的（ABD）
A. $g(0)=1$ B. 函数 $f(2x-1)$ 的图像关于点 $\left(\dfrac12,0\right)$ 对称
C. $g(1)+g(-1)=1$ D. 若 $f(1)=\dfrac{\sqrt3}{2}$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}f(n)=\dfrac{\sqrt3}{2}$
相似题 1 为《浙江省新高考研究卷》(全国 I 卷)数学试题(二)第 12 题；
相似题 2 为江苏省南通市 2022-2023 学年高三上学期 12 月调研测试数学试题第 12 题；
相似题 3 为湖南省邵阳市 2023 届高三上学期一模数学试题第 10 题。
【详解（相似题 1）】 因为 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，
所以 $g(x)=g(2-x)$
当 $x=-1$ 时，$g(-1)=g(3)$，故 C 正确，
因为 $f(x)+g(1-x)=3$
所以 $f(x-3)+g(1-x+3)=3$，即 $f(x-3)+g(4-x)=3$，
即 $f(x-3)=3-g(4-x)$
又因为 $g(x)-f(x-3)=5$，即 $g(x)-\left[3-g(4-x)\right]=5$
即 $g(x)+g(4-x)=8$
又因为 $g(x)-f(x-3)=5$，即 $g(1-x)-f(1-x-3)=5$，
即 $g(1-x)=5+f(-2-x)$，
又因为 $f(x)+g(1-x)=3$，联立解得：$f(x)+f(-2-x)=-2$
因为 $g(x)+g(4-x)=8$，令 $x=1$，有 $g(3)+g(1)=8$，解得 $g(3)=6$，故 B 错误，
因为 $f(x)+f(-2-x)=-2$，所以 $f(-1)+f(-1)=-2$，解得 $f(-1)=-1$
所以 $f(-1)+g(2)=3$，解得 $g(2)=4$，$g(0)=4$
因为 $g(x)+g(4-x)=8$，所以 $g(0)+g(4)=8$，解得 $g(4)=4$
因为 $g(x)-f(x-3)=5$，所以 $g(4)-f(1)=5$，解得 $f(1)=-1$，
所以 $g(2)=4=-4f(1)$，故 D 正确
因为 $g(-2)=g(4)=4$，所以 $f(3)+g(-2)=3$，解得 $f(3)=-1$，故 A 正确
故选：ACD.
【详解（相似题 2）】 ∵ $f(2x-1)+f(3-2x)=f(-2)$，
令 $x=-\dfrac12$，得 $f(-2)+f(4)=f(-2)$
∴ $f(4)=0$，所以 A 正确.
令 $t=2x-1$，则 $f(t)+f(2-t)=f(-2)$
求导数得，$f'(t)-f'(2-t)=0$，即 $g(t)=g(2-t)$
所以 $g(x)$ 关于 $x=1$ 对称，∴ $g(1-x)=g(1+x)$
又因为 $\begin{cases}g(1-x)+g(-3x)=g\left(-\dfrac12\right)\\ g(1+x)+g(3x)=g\left(-\dfrac12\right)\end{cases}$ ∴ $g(-3x)=g(3x)$
所以 $g(x)$ 为偶函数.
∴ $g(x)=g(-x)=g(2-x)$，$g(x)$ 的周期为 2.
因为 $g(x)$ 为周期为 2 的偶函数，
所以 $g(2)=g(0)$，$g(-1)=g(1)$
令 $x=0$ 时，$g(2)+g(-1)=g(1)+g(0)=g\left(-\dfrac12\right)$
令 $x=-\dfrac12$，得 $g\left(\dfrac32\right)+g\left(\dfrac32\right)=g\left(-\dfrac12\right)$
∵ $g\left(\dfrac32\right)=g\left(-\dfrac12\right)$，∴ $g\left(-\dfrac12\right)=0$，所以 B 不正确，C 正确.
因为 $g(x)$ 的周期为 2，∴ $g(2022)=g(0)$，所以 D 正确.
故选：ACD.
【详解（相似题 3）】 对于 A，令 $x=y=0$，代入已知等式得 $f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0$，得 $f(0)=0$，
再令 $y=0$，$x=1$，代入已知等式得 $f(1)=f(1)g(0)-g(1)f(0)$，
可得 $f(1)\left[1-g(0)\right]=-g(1)f(0)=0$，结合 $f(1)\neq 0$ 得 $1-g(0)=0$，$g(0)=1$，故 A 正确；
对于 B，再令 $x=0$，代入已知等式得 $f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y)$，
将 $f(0)=0$，$g(0)=1$ 代入上式，得 $f(-y)=-f(y)$，∴ 函数 $f(x)$ 为奇函数，
∴ 函数 $f(2x-1)$ 关于点 $\left(\dfrac12,0\right)$ 对称，故 B 正确；
对于 C，再令 $x=1$，$y=-1$，代入已知等式，
得 $f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)$，∵ $f(-1)=-f(1)$，∴ $f(2)=f(1)\left[g(-1)+g(1)\right]$，
又 ∵ $f(2)=-f(-2)=-f(1)$，∴ $-f(1)=f(1)\left[g(-1)+g(1)\right]$，
∵ $f(1)\neq 0$，∴ $g(1)+g(-1)=-1$，故 C 错误；
对于 D，分别令 $y=-1$ 和 $y=1$，代入已知等式，得以下两个等式：
$f(x+1)=f(x)g(-1)-g(x)f(-1)$，$f(x-1)=f(x)g(1)-g(x)f(1)$，
两式相加易得 $f(x+1)+f(x-1)=-f(x)$，所以有 $f(x+2)+f(x)=-f(x+1)$，
即：$f(x)=-f(x+1)-f(x+2)$，
有：$-f(x)+f(x)=f(x+1)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)=0$，
即：$f(x-1)=f(x+2)$，∴ $f(x)$ 为周期函数，且周期为 3，
∵ $f(1)=\dfrac{\sqrt3}{2}$，∴ $f(-2)=\dfrac{\sqrt3}{2}$，∴ $f(2)=-f(-2)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$，$f(3)=f(0)=0$，
∴ $f(1)+f(2)+f(3)=0$，
∴ $\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2023)=f(2023)=f(1)=\dfrac{\sqrt3}{2}$，
故 D 正确.
故选：ABD.