f(x)=eˣ-ax²-x 存在两个极值点

8. 若函数 $f(x)=e^{x}-ax^{2}-x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围为

A. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ B. $(0,+\infty)$

C. $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ D. $(0,1)\cup(1,+\infty)$

解析：

依靠题可知 $f'(x)=e^{x}-2ax-1=0$ 有两个不同实数解。

显然 $x=0$ 时，$f'(x)=0$；

$x\ne 0$ 时，$2a=\dfrac{e^{x}-1}{x}$。

设 $g(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}}=\dfrac{(x+1)(x-1)+1}{x^{2}}>0$（由 $e^{x}\ge x+1$，$x=0$ 时等号成立），

$\therefore x\ne 0$ 时 $g(x)$ 单增。

$\because x\to 0$ 时，$g(x)\to 0$，

$\therefore g(x)>0$ 且 $g(x)\ne 1$（$e^{x}\ge x+1$，$x=0$ 时等号成立），

$\therefore a>0$ 且 $a\ne\dfrac{1}{2}$。

故选 C。