求 $y=\cos(\alpha+\beta)+\cos\alpha-\cos\beta-1$ 的取值范围

解答一（辅助角 + 对勾函数）

由 $\sin(\alpha+\varphi)\in[-1,1]$，得 $-\sqrt{2+2\cos\beta}-(\cos\beta+1)\leqslant y\leqslant\sqrt{2+2\cos\beta}-(\cos\beta+1)$

令 $t=\sqrt{1+\cos\beta}$，则 $t\in[0,\sqrt{2}]$，则 $-\sqrt{2}\,t-t^2\leqslant y\leqslant\sqrt{2}\,t-t^2$

所以 $y\geqslant-\sqrt{2}\,t-t^2=-\left(t+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\geqslant-4$，当且仅当 $t=\sqrt{2}$，即 $\cos\beta=1$ 时取等号；

且 $y\leqslant\sqrt{2}\,t-t^2=-\left(t-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{1}{2}$，当且仅当 $t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\cos\beta=-\dfrac{1}{2}$ 时取等号。

所以 $y$ 的取值范围为 $\left[-4,\dfrac{1}{2}\right]$。

解答二（半角化简）

令 $t=\sin^{2}\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}$

由二次函数性质可知

当 $\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}=1$ 时 $t_{\max}=2$

当 $\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}=1$，$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\dfrac{1}{2}$ 时 $t_{\min}=-\dfrac{1}{4}$

答案： $y\in\left[-4,\dfrac{1}{2}\right]$

⟨注⟩ 解答二中 $t_{\max}=2$ 对应 $y=-2t\in[-4,\cdot)$ 的下界；$t_{\min}=-\frac14$ 对应 $y=-2t=\frac12$ 的上界。