f(x)=e²ˣ-a(2-x)eˣ-a²x² 有两个零点

16. 已知函数 $f(x)=e^{2x}-2a(x-2)e^{x}-a^{2}x^{2}$（$a>0$）恰有两个零点，则 $a=$。

解析：

$f(x)=e^{2x}-2a(x-2)e^{x}-a^{2}x^{2}\ (a>0)$，

$f'(x)=2e^{2x}-2a(x-1)e^{x}-2a^{2}x=2e^{x}(e^{x}+a)-2ax(e^{x}+a)=2(e^{x}+a)(e^{x}-ax)$，

$\therefore x<0$ 时 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单增，不合题意。

设 $g(x)=\dfrac{e^{x}}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}$，

$\therefore x>1$ 时 $g(x)$ 单增，$x<1$ 时 $g(x)$ 单减，

$\therefore g(x)_{\min}=g(1)=e$，

$\therefore a\le e$ 时 $f(x)$ 单增，不合题意；

$a>e$ 时存在 $0<x_{1}<x_{2}$ 使得

$x<x_{1}$ 时 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单增；$x_{1}<x<x_{2}$ 时 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单减；$x>x_{2}$ 时 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单增。

$\because f(0)=1+4a>0$，

$\therefore f(x)_{\text{极大值}}=f(x_{1})>0$，

$\therefore$ 若 $f(x)$ 有两个零点，需 $f(x)_{\text{极小值}}=f(x_{2})=0$。

由 $f'(x_{2})=0$ 得 $\dfrac{e^{x_{2}}}{x_{2}}=a$，代入 $f(x_{2})=0$：$e^{2x_{2}}-2a(x_{2}-2)e^{x_{2}}-a^{2}x_{2}^{2}=0$，

$\therefore x_{2}=2$，$a=\dfrac{e^{2}}{2}$。