11. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)\neq 0$，若 $f(x+y)+f(x)f(y)=4xy$，则
A. $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ B. $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-2$
C. 函数 $f\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ 是偶函数 D. 函数 $f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 是减函数
解答
令 $y=0$，则 $f(x)+f(x)f(0)=0$，即 $f(x)\big[1+f(0)\big]=0$
依题可知 $f(x)$ 不恒等于 0，故 $f(0)=-1$
令 $x=\dfrac{1}{2},\ y=-\dfrac{1}{2}$，则 $f(0)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1$
$\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$
$\therefore f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ 故选项 A 正确
令 $y=-\dfrac{1}{2}$，则 $f\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+f(x)f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2x$
$\therefore f\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=-2x$。选项 C 错误
令 $x=1$，则 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-2$。选项 B 正确
将 $x$ 换成 $x+1$ 得 $f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-2x-2$，单减。选项 D 正确
答案：ABD