f(x)=ax²+x+绝对值x²+ax+1

12. 已知函数 $f(x)=ax^{2}+2x+|x^{2}+ax+1|$（$a\in\mathbf{R}$），则

A. 当 $a=-1$ 时，$f(x)$ 为增函数

B. 若 $f(x)$ 有唯一的极值点，则 $a>0$

C. 当 $a\le -2$ 时，$f(x)$ 的零点为 $\pm 1$

D. $f(x)$ 最多有 $2$ 个零点

解析：

对选项 A：$a=-1$ 时 $f(x)=x+1$ 单调，选项 A 正确。

对选项 B：$a=1$ 时 $f(x)=x^{2}+2x+1$ 有一个极值点，选项 B 错误。

对选项 C：$a\le -2$ 时，$x^{2}+ax+1=0$ 二根为 $x_{1},x_{2}$ 且 $x_{1}\le x_{2}$，

则 $x_{1}+x_{2}=-a\ge 2$，$\therefore x_{1}x_{2}=1$，

$\therefore 0<x_{1}\le 1,\ x_{2}\ge 1$。

$x<x_{1}$ 或 $x>x_{2}$ 时，$f(x)=(a+1)x^{2}+(a+2)x+1$，图像开口向下，

对称轴 $x=-\dfrac{a+2}{2(a+1)}<0$，$f(-1)=0$；

$x_{1}\le x<x_{2}$ 时，$f(x)=(a-1)x^{2}+(2-a)x-1$，图像开口向下，

对称轴 $x=-\dfrac{2-a}{2(a-1)}>0$，$f(1)=0$。

如下图所示，故选项 C 正确。

对选项 D：

由选项 C：$a\le -2$ 时，$f(x)$ 有两个零点；

$-2<a\le -1$ 时，$\Delta=a^{2}-4<0$，

$\therefore f(x)=(a+1)x^{2}+(a+2)x+1$ 至多有两个零点；

$a>1$ 时，设 $x^{2}+ax+1=0$ 二根为 $x_{1},x_{2}$ 且 $x_{1}\le x_{2}$，

则 $x_{1}+x_{2}=-a<-2$，$x_{1}x_{2}=1$，

$\therefore x_{1}<-2,\ -1<x_{2}<0$。

$x<x_{1}$ 或 $x>x_{2}$ 时，$f(x)=(a+1)x^{2}+(a+2)x+1$，图像开口向上，

对称轴 $x=-\dfrac{a+2}{2(a+1)}<-\dfrac{1}{2}$，$f(0)=1$，$f(-1)=0$；

$x_{1}<x<x_{2}$ 时，$f(x)=(a-1)x^{2}+(2-a)x-1$，图像开口向上，

对称轴 $x=\dfrac{a-2}{a-1}\in(0,1)$，$f(1)=0$，$f(0)=-1$，$f(-1)=2(a-2)>0$。

如下图所示，故选项 D 正确。

（综上，正确选项为 ACD。）