20230410（两题）

题 12．已知函数 $f(x)=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$，下列关于该函数的结论正确的是（多选）

A. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称　　B. $f(x)$ 的一个周期是 $2\pi$

C. $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 上单调递增　　D. $f(x)$ 的最大值为 $\sin 1+1$

解答

对于 A 选项：

f(\pi+x)=\sin\left[\cos(\pi+x)\right]+\cos\left[\sin(\pi+x)\right]=\sin(-\cos x)+\cos(-\sin x)=-\sin(\cos x)+\cos(\sin x)

f(\pi-x)=\sin\left[\cos(\pi-x)\right]+\cos\left[\sin(\pi-x)\right]=\sin(-\cos x)+\cos(\sin x)=-\sin(\cos x)+\cos(\sin x)

$\therefore\ f(\pi+x)=f(\pi-x)$，故 A 正确

对于 B 选项：

f(x+2\pi)=\sin\left[\cos(x+2\pi)\right]+\cos\left[\sin(x+2\pi)\right]=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)=f(x)

$\therefore\ f(x+2\pi)=f(x)$，故 B 正确

对于 C 选项：

$y=\cos x$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 上单减，且 $\cos x\in(-1,0)\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)$；$y=\sin x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 上单增

$\therefore$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 上，$y=\sin(\cos x)$ 单减

$y=\sin x$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 上单减，且 $\sin x\in(0,1)\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$；$y=\cos x$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单减

$\therefore$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 上，$y=\cos(\sin x)$ 单增．故 C 错误

对于 D 选项：

$\because\ -1\leqslant\cos x\leqslant 1$，$\therefore\ \cos x=1$ 时 $y=\sin(\cos x)$ 取得最大值 $\sin 1$

$\because\ \cos x=1$ 时 $\sin x=0$，$y=\cos(\sin x)$ 取得最大值 $1$

$\therefore\ y=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$ 最大值为 $\sin 1+1$，故 D 正确

答案： ABD

附注：文档另附 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 附近的 GeoGebra 图像（黑底截图），可见 $x=0$ 处取最大值 $\approx 2=\sin 1+1$，$x\approx 2.5$ 附近取最小值后缓慢回升，与上述单调性分析一致。

题 16．设双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $P$ 是圆 $x^2+y^2=4a^2$ 与双曲线 $E$ 的一个公共点，$\angle F_1PF_2=60°$，则该双曲线的离心率为__．

解答

解：设 $PF_1=m$，则 $PF_2=2a+m$（$P$ 在右支上，且 $OP=2a$）

\therefore\ \cos\angle POF_1=\frac{OP^2+OF_1^2-(2a+m)^2}{2\cdot OP\cdot OF_1}=\frac{4a^2+c^2-(2a+m)^2}{2\cdot c\cdot 2a}

\cos\angle POF_2=\frac{OP^2+OF_2^2-m^2}{2\cdot OP\cdot OF_2}=\frac{4a^2+c^2-m^2}{2\cdot c\cdot 2a}

由 $\angle POF_1+\angle POF_2=\pi$（$\cos$ 互为相反数）：

\therefore\ \frac{c^2+4a^2-m^2}{2\cdot c\cdot 2a}=-\frac{c^2+4a^2-(2a+m)^2}{2\cdot c\cdot 2a}

\therefore\ m^2+2am-2a^2-c^2=0\quad\text{即}\ m^2+2am=2a^2+c^2

\because\ \cos\angle F_1PF_2=\frac{1}{2}=\frac{m^2+(2a+m)^2-4c^2}{2\cdot m\cdot(2a+m)}

\therefore\ m^2+2am+4a^2-4c^2=0

\therefore\ (2a^2+c^2)+4a^2-4c^2=0\ \Rightarrow\ 6a^2=3c^2\ \Rightarrow\ c^2=2a^2

\therefore\ e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}

答案： $e=\sqrt{2}$

⟨注⟩ 解答原图前两式分子印作 "$a^2+2a^2$"，系 "$4a^2+c^2$"（$OP^2+OF^2$）之误排，已按余弦定理与后续推导还原。