f(x)=a(x²−a/8)−2lnx ≥ 0 恒成立

题目：已知函数 $f(x)=a\left(x^2-\dfrac{1}{8}a\right)-2\ln x$，若 $f(x)\ge 0$ 恒成立，则满足条件的所有整数 $a$ 的取值集合为 .（参考数据：$\ln 2\approx 0.6931$，$\ln 3\approx 1.0986$）

简析：依题可知 $f'(x)=2ax-\dfrac{2}{x}=2\dfrac{ax^2-1}{x}$

$\therefore\ 0<x<\dfrac{\sqrt{a}}{a}$ 时 $f(x)$ 单减，$x>\dfrac{\sqrt{a}}{a}$ 时 $f(x)$ 单增

$\therefore\ f(x)_{\min}=f\!\left(\dfrac{\sqrt{a}}{a}\right)=1+\ln a-\dfrac{1}{8}a^2\ge 0$ 恒成立

设 $g(x)=1+\ln x-\dfrac{1}{8}x^2$，则 $g'(x)=\dfrac{4-x^2}{4x}$

$\therefore\ 0<x<2$ 时 $g(x)$ 单增，$x>2$ 时 $g(x)$ 单减

$\therefore\ g(x)_{\max}=g(2)=\ln 2+\dfrac{1}{2}>0$

$g(1)=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}>0$

$g(3)=\ln 3-\dfrac{1}{8}>0$

$g(4)=\ln 4-1>0$

$g(5)=\ln 5-\dfrac{17}{8}$

$\because\ \ln 5<\ln e^2=2$

$\therefore\ g(5)<0$

$\therefore\ a$ 的取值为 $1,\ 2,\ 3,\ 4$，即取值集合为 $\boxed{\{1,2,3,4\}}$。