2023年03月22日数学作业

一、单选题

1. 已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，$P$ 为双曲线上的一点，$I$ 为 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的内心，且 $\overrightarrow{IF_{1}}+2\overrightarrow{IF_{2}}=2\overrightarrow{PI}$，则 $C$ 的离心率为（　　）

A. $\dfrac{1}{3}$　　B. $\dfrac{2}{5}$　　C. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$　　D. $2$

【答案】 D

【详解】 如下图示，延长 $IP$ 到 $A$ 且 $\left|IP\right|=\left|PA\right|$，延长 $IF_{2}$ 到 $B$ 且 $\left|IF_{2}\right|=\left|F_{2}B\right|$，

所以 $\overrightarrow{IF_{1}}+2\overrightarrow{IF_{2}}=2\overrightarrow{PI}$，即 $\overrightarrow{IF_{1}}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}$，

故 $I$ 是 $\triangle ABF_{1}$ 的重心，即 $S_{\triangle AF_{1}I}=S_{\triangle BIF_{1}}=S_{\triangle AIB}$，又

$S_{\triangle AF_{1}P}=2S_{\triangle PF_{1}I}$，$S_{\triangle BIF_{1}}=2S_{\triangle PF_{1}I}$，$S_{\triangle AIB}=4S_{\triangle PF_{1}I}$，

所以 $S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=S_{\triangle AF_{1}B}=2S_{\triangle PF_{1}I}$，而 $I$ 是 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的内心，则 $\left|PF_{1}\right|=\left|F_{1}F_{2}\right|=2\left|PF_{2}\right|$，

由 $\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|=2a$，$\left|F_{1}F_{2}\right|=2c$，则 $\left|PF_{2}\right|=2a$，故 $2c=4a$，即 $e=\dfrac{c}{a}=2$。

故选：D

二、填空题

2. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$，$F_{1}$，$F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，$P$ 为双曲线上的第一象限内的点，点 $I$ 为 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的内心，$\triangle IF_{1}F_{2}$ 的面积的取值范围是__。

【答案】 $\left(0,20\right)$

【详解】 由题意得：$c^{2}=9+16=25$，故 $\left|F_{1}F_{2}\right|=2c=10$，设点 $I\left(x_{1},y_{1}\right)$，且 $I$ 在 $F_{1}F_{2}$ 上垂足为 $H$，根据双曲线定义及切线长定理可得：$\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|=2a=\left|HF_{1}\right|-\left|HF_{2}\right|$，又因为 $\left|HF_{1}\right|+\left|HF_{2}\right|=2c$，解得：$\left|HF_{1}\right|=a+c$，所以点 $H$ 坐标为 $\left(a,0\right)$，即渐近线 $y=\dfrac43x$ 的倾斜角为 $\theta$，则 $\tan\theta=\dfrac43$，记 $\angle IF_{2}H=\alpha$，则 $2\alpha\in\left(0,\pi-\theta\right)$，

所以 $\alpha<\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}$，即 $\tan\alpha<\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{1}{\tan\dfrac{\theta}{2}}$，又 $\dfrac{2\tan\dfrac{\theta}{2}}{1-\tan^{2}\dfrac{\theta}{2}}=\tan\theta=\dfrac43$，解得 $\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}$（负值舍），

所以 $\tan\alpha\in\left(0,2\right)$，则 $y_{1}=\left|HF_{2}\right|\tan\alpha\in\left(0,4\right)$，

所以 $S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\dfrac{1}{2}\left|F_{1}F_{2}\right|\cdot y_{1}=5y_{1}\in\left(0,20\right)$。

故答案为： $\left(0,20\right)$