椭圆 中点 角平分线 四边形面积

16. 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，$M$ 是 $C$ 上异于顶点的一点，$O$ 为坐标原点，$E$ 为线段 $MF_{1}$ 的中点。$\angle F_{1}MF_{2}$ 的平分线与直线 $EO$ 交于点 $P$，当四边形 $MF_{1}PF_{2}$ 的面积为 $2\sqrt{2}$ 时，$\sin\angle MF_{2}F_{1}=\underline{\qquad}$。

解： 如上图所示，延长 $F_{1}P$ 与 $MA$ 交于点 $A$，过点 $P$ 作 $PB\perp MF_{2}$，

过点 $F_{1}$ 作 $FC\perp MF_{2}$。

设点 $P$ 到 $\angle F_{1}MF_{2}$ 两边距离为 $h$，则 $PB=h$。

$S_{MF_{1}PF_{2}}=\dfrac{1}{2}\left(|MF_{1}|+|MF_{2}|\right)h=2\sqrt{2}$

$\therefore h=\sqrt{2}$

$\because EO\parallel MF_{2}$，$EO=\dfrac{1}{2}MF_{2}$

$\therefore EP\parallel MA$，$EP=\dfrac{1}{2}MA$

$\therefore AP=PF_{1}$

$\therefore F_{1}C=2h=2\sqrt{2}$

$\therefore \sin\angle MF_{2}F_{1}=\dfrac{|F_{1}C|}{|F_{1}F_{2}|}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$