f(2-x)=f(x+4)

12. 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+3)+f(x+1)=0$，$f(2-x)=f(x+4)$，$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$，则

A. $f(2)=0$　　　　　　　　B. $f(x)+f(-x)=0$

C. $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} f\left(\frac{k}{2}\right)=1$　　　　　　　　D. $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k f\left(k-\frac{1}{2}\right)=-100$

解答

$\because f(x+3)+f(x+1)=0$，

$\therefore f(x+2)=-f(x)$　①

$\therefore f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，函数一个周期为 4

$\because f(2-x)=f(x+4)$　②

$\therefore f(2-x)=f(x)$　③ 函数图像关于 $x=1$ 对称

对于选项 A，由 ①和③ 得 $f(x+2)+f(2-x)=0$

令 $x=0$ 得 $f(2)=0$。故选项 A 正确

对于选项 B，由③得 $f(-x)=f(x+2)$，与①结合可得 $f(-x)=-f(x)$，故选项 B 正确

对于选项 C，由上可知 $f(2-x)+f(2+x)=0$

$\therefore f(4-x)+f(x)=0$

$\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{7}{2}\right)=f(1)+f(3)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)+f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$

由①可得 $f(4)=-f(2)=0$

$\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f(1)+\cdots+f(4)=0$

∴ 4 为函数的一个周期

$\therefore \displaystyle\sum_{k=1}^{100} f\left(\frac{k}{2}\right)=0$，故选项 C 错误

对于选项 D，由上可知 $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$

$f\left(\dfrac{5}{2}\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$，$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=-f\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$

\sum_{k=1}^{100} k f\left(k-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)+2 f\left(\frac{3}{2}\right)+\cdots+100 f\left(\frac{199}{2}\right)

=\frac{1}{2}\big[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+\cdots+(97+98-99-100)\big]

=\frac{1}{2}\times(-4\times 25)=-50\text{，故选项 D 错误}

答案：AB