- 在同一平面直角坐标系中，$P, Q$分别是函数$f(x) = axe^x - \ln(ax)$和$g(x) = \frac{2\ln(x - 1)}{x}$图像上的动点，若对任意$a > 0$，有$|PQ| \geq m$恒成立，则实数$m$的最大值为.
解：$f(x) = axe^x - \ln(ax) = e^{\ln(ax) + x} - \ln(ax)$
$\because e^t \geq t + 1$（$t = 0$时等号成立）
$\therefore e^{\ln(ax) + x} \geq \ln(ax) + x + 1$（$\ln(ax) + x = 0$时等号成立）
$\therefore f(x) \geq x + 1$恒成立
$\therefore$函数$f(x)$图像向上距离$g(x)$图像上最近的点在直线$y = x + 1$上
设$g(x)$函数图像上斜率为1切线为$y - y_0 = x - x_0$
$\because g'(x_0) = \frac{2\frac{x_0}{x_0 - 1} - 2\ln(x_0 - 1)}{x_0^2} = 1$
$x_0 = 2$
$\therefore$切线方程为$y = x - 2$
$\therefore |PQ|_{\min} = \frac{|1 - (-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
$\therefore a \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}$