f(x)=aˣ+(1+a)ˣ-2 一个零点

16. 已知函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}-2$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），若函数 $f(x)$ 恰有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为。

解析：

显然 $f(0)=0$。

$a>1$ 时，$f(x)$ 单增，符合题意；

$0<a<1$ 时，$f'(x)=a^{x}\ln a+(1+a)^{x}\ln(1+a)$，

$\because \ln a<0$，$a^{x}$ 单调减；$\ln(1+a)>0$，$(1+a)^{x}$ 单增，

$\therefore f'(x)$ 单增。

$x\to-\infty$ 时 $f(x)\to-\infty$；$x\to+\infty$ 时 $f(x)\to+\infty$。

存在 $x_{0}$，使 $x<x_{0}$ 时 $f(x)<0$，$x>x_{0}$ 时 $f(x)>0$，

$\therefore f(x)_{\min}=f(x_{0})$，

$\therefore f(x_{0})=f(0)=0$，

$\therefore f'(x_{0})=f'(0)=\ln a+\ln(1+a)=0$，

$\therefore a^{2}+a-1=0$，

解得 $a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。

$\therefore a>1$ 或 $a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，即 $a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right]\cup(1,+\infty)$（$a\ne 1$）。