题目：已知不等式 $\mathrm{e}^{2x}-kx^{2}+x\geq \ln x+\dfrac{1}{2}\ln k\ (k>0)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为＿＿＿＿＿.
解答：
$\mathrm{e}^{2x}-kx^{2}+x\geq \ln x+\dfrac{1}{2}\ln k$
$\therefore \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+\ln\mathrm{e}^{x}\geq kx^{2}+\ln x+\ln\sqrt{k}$
$\therefore \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+\ln\mathrm{e}^{x}\geq \left(\sqrt{k}x\right)^{2}+\ln\sqrt{k}x$
设 $f(x)=x^{2}+\ln x$，则 $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0$
$\therefore x>0$ 时 $f(x)$ 单增。
$\therefore \mathrm{e}^{x}\geq \sqrt{k}x$
$\therefore \sqrt{k}\leq \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$
设 $g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$
$\therefore 0<x<1$ 时 $g(x)$ 单减，$x>1$ 时 $g(x)$ 单增。
$\therefore g(x)$ 极小值 $=g(1)=e$
$\therefore \sqrt{k}\leq e$，即 $k\leq e^{2}$