△ABC 内一点 O 是其外心，m+n 的最大值

题目：已知 $\triangle ABC$ 内一点 $O$ 是其外心，$\sin A=\dfrac{2\sqrt2}{3}\left(0<A<\dfrac{\pi}{2}\right)$，且 $\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则 $m+n$ 的最大值为。

解答

解：如图所示，延长 $AO$ 交 $BC$ 于 $D$。

令 $\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{\overrightarrow{AO}}{\lambda}=\dfrac{m}{\lambda}\overrightarrow{AB}+\dfrac{n}{\lambda}\overrightarrow{AC}$。

$\because B$、$C$、$D$ 三点共线，

\therefore\ \frac{m}{\lambda}+\frac{n}{\lambda}=1\Rightarrow m+n=\lambda

$\therefore\ \lambda$ 取最大值时，$m+n$ 取最大值，则 $\lambda=\dfrac{|\overrightarrow{AO}|}{|\overrightarrow{AD}|}$。

$\because\ |\overrightarrow{AO}|$ 为外接圆的半径（定值），

$\therefore$ 当 $|\overrightarrow{AD}|$ 取得最小时，$\lambda$ 取最大值，此时 $AD\perp BC$，

$\therefore\ \triangle ABC$ 为等腰三角形，且 $\sin A=\dfrac{2\sqrt2}{3}\left(0<A<\dfrac{\pi}{2}\right)$。

$\therefore\ \cos A=\dfrac13$，则 $\sin\dfrac A2=\dfrac{\sqrt3}{3}$，$\cos\dfrac A2=\dfrac{\sqrt6}{3}$，$\tan\dfrac A2=\dfrac{1}{\sqrt2}$。

\because\ |\overrightarrow{AO}|=\frac{a}{2\sin A}=\frac{3a}{4\sqrt2}\ ,\qquad |\overrightarrow{AD}|=\frac{\dfrac a2}{\tan\dfrac A2}=\frac{\sqrt2a}{2}

\therefore\ \lambda_{\max}=\frac{\dfrac{3a}{4\sqrt2}}{\dfrac{\sqrt2a}{2}}=\boxed{\frac34}

故答案为：$\dfrac34$

ABC内一点O是其外心

△ABC 内一点 O 是其外心，m+n 的最大值

解答