双曲线左右焦点 正弦比等于长度比

辽宁省沈阳市第二中学 2022-2023 学年高三上学期 12 月月考数学试题

7. 如图所示，$F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右焦点，$C$ 的右支上存在一点 $B$ 满足 $BF_{1}\perp BF_{2}$，$BF_{1}$ 与 $C$ 的左支的交点 $A$ 满足 $\dfrac{\sin\angle AF_{2}F_{1}}{\sin\angle AF_{2}B}=\dfrac{|BF_{2}|}{|F_{1}F_{2}|}$，双曲线 $C$ 的离心率为（　　）

A. 3　　B. $2\sqrt{3}$　　C. $\sqrt{13}$　　D. $\sqrt{15}$

解：

$\therefore \dfrac{\sin\angle AF_{2}F_{1}}{\sin\angle AF_{2}B}=\dfrac{|AF_{1}||BF_{2}|}{|F_{1}F_{2}||AB|}=\dfrac{|BF_{2}|}{|F_{1}F_{2}|}$

$\therefore |AF_{1}|=|AB|$

设 $|AF_{1}|=|AB|=m$，

$\therefore 2m-|BF_{2}|=2a$，$|AF_{2}|-m=2a$

$\therefore |BF_{2}|=2m-2a$，$|AF_{2}|=2a+m$

$\because BF_{2}\perp BA$，$\therefore (2m-2a)^{2}+m^{2}=(2a+m)^{2}$

$\therefore m=3a$，$\therefore |AF_{1}|=|AB|=3a$，$|BF_{2}|=4a$，$|AF_{2}|=5a$

$\therefore 36a^{2}+16a^{2}=4c^{2}$，$\therefore e=\sqrt{13}$

故选 C。

浙江省金华十校 2022-2023 学年高三上学期期末模拟数学题