12、已知函数$f(x) = x - axe^{x} - ae^{x}$，且存在唯一的整数$x_{0}$，使得$f(x_{0}) > 0$，则实数$a$的可能取值为（ ）
A．$\frac{2}{3e^{2}}$ B．$\frac{1}{2e}$ C．$\frac{3e + 4}{12e^{2}}$ D．$\frac{1}{e}$
解：存在唯一的整数$x_{0}$使得$- axe^{x} - ae^{x} > 0$
即存在唯一的整数$x_{0}$使得$ae^{x}(x + 1) < x$
$x = - 1$时，$0 < - 1$，不等式不成立
$x > - 1$时，$a < \frac{x}{e^{x}(x + 1)}$
$x < - 1$时，$a > \frac{x}{e^{x}(x + 1)}$
令$g(x) = \frac{x}{e^{x}(x + 1)}$，则$g'(x) = \frac{- \left( x^{2} + x + 1 \right)}{e^{x}(x + 1)}$
$\therefore x > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.6$或$x < - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx - 1.6$时，$g(x)$单减
$- 1 < x < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.6$或$- \frac{\sqrt{5} + 1}{2} < x < - 1$时，$g(x)$单增
图像如右图所示
当$x > - 1$时，若存在唯一的$x_{0}$使得$g(x_{0}) > a$须
$g(1) > a \geq g(2)$
$\therefore \frac{2}{3e^{2}} \leq a < \frac{1}{2e}$
当$x < - 1$时，显然不合题意，选 AC