离心率 椭圆 AB两点关于坐标原点对称 (2)

江苏省盐城中学 2022-2023 学年高二上学期期末数学试题

16. 已知 $A,B,C$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$ 上的三个点，$O$ 为坐标原点，$A,B$ 两点关于原点对称，$AC$ 经过右焦点 $F$，若 $\left|OA\right|=\left|OF\right|$ 且 $\left|AF\right|=2\left|CF\right|$，则该椭圆的离心率是__。

解： 如右图所示，设 $\left|FC\right|=m$，$\left|AF\right|=n$，则 $\left|AF\right|=2m$

$\because\left|OA\right|=\left|OF\right|=\left|OF_{1}\right|=\left|OB\right|$

$\therefore$ 四边形 $AFBF_{1}$ 为矩形

$\therefore 4m^{2}+n^{2}=4c^{2}$

$\because\left|CF_{1}\right|+\left|CF\right|=2a$，$\left|AF_{1}\right|+\left|AF\right|=2a$

$\therefore\left|CF_{1}\right|=2a-m$，$2m+n=2a$

$\therefore\left(3m\right)^{2}+n^{2}=\left(2a-m\right)^{2}$

$\therefore 9m^{2}+\left(2a-2m\right)^{2}=\left(2a-m\right)^{2}$

$\therefore m=\dfrac{a}{3}$，$n=\dfrac{4a}{3}$

$\therefore 4\left(\dfrac{a}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{4a}{3}\right)^{2}=4c^{2}$

$\therefore 20a^{2}=36c^{2}$　$\therefore e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$