12. 已知函数 $f(x+1)$ 是偶函数，且 $f(x+2)=-f(x)$，当 $x\in(0,1]$ 时，$f(x)=x\cos\dfrac{1}{x}$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$ 是奇函数
B. $f(x)$ 在区间 $\left( \dfrac{4\pi+1}{\pi},\dfrac{6\pi-1}{\pi} \right)$ 有且只有一个零点
C. $f(x)$ 在 $\left( \dfrac{6}{5\pi},1 \right]$ 上单调递增
D. $f(x)$ 在 $\left( \dfrac{1}{\pi},1 \right]$ 有且只有一个极值点
解：
对 A 选项
$\because f(x+1)$ 是偶函数
$\therefore f(1+x)=f(1-x)$
$\therefore f(-x)=f(x+2)$
$\because f(x+2)=-f(x)$
$\therefore f(-x)=-f(x)$
$\therefore f(x)$ 为奇函数，A 正确
对 B 选项
$\because f(x+2)=-f(x)$
$\therefore f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$
$\therefore f(x)$ 为周期函数，$T=4$
$\therefore f(x)$ 在区间 $\left( \dfrac{4\pi+1}{\pi},\dfrac{6\pi-1}{\pi} \right)$ 零点个数与在区间 $\left( \dfrac{1}{\pi},2-\dfrac{1}{\pi} \right)$ 的相同
$f(x)$ 在 $\left( \dfrac{1}{\pi},2-\dfrac{1}{\pi} \right)$ 至少有 $\dfrac{2}{\pi}$ 和 $2-\dfrac{2}{\pi}$ 两个零点，B 不正确
对 C 选项
$\because x\in\left( \dfrac{6}{5\pi},1 \right]$ 时，$f(x)=x\cos\dfrac{1}{x}$
$\therefore f'(x)=\cos\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$
令 $t=\dfrac{1}{x}\in\left[ 1,\dfrac{5\pi}{6} \right)$，$h(t)=\cos t+t\sin t$
$\therefore h'(t)=-\sin t+\sin t+t\cos t=t\cos t$
$\therefore 1<t<\dfrac{\pi}{2}$ 时，$h(t)$ 单增，$\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{5\pi}{6}$，$h(t)$ 单减
$\because h(1)=\cos 1+\sin 1>0$，$h\left( \dfrac{5\pi}{6} \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{5\pi}{6}>0$
$\therefore h(t)>0$
$\therefore f'(x)>0$
$\therefore f(x)$ 单增。C 正确
对 D 选项
$\because x\in\left( \dfrac{1}{\pi},1 \right]$ 时，$f(x)=x\cos\dfrac{1}{x}$
$\therefore f'(x)=\cos\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$
令 $t=\dfrac{1}{x}\in[1,\pi)$，$h(t)=\cos t+t\sin t$
$\therefore h'(t)=-\sin t+\sin t+t\cos t=t\cos t$
$\therefore 1<t<\dfrac{\pi}{2}$ 时，$h(t)$ 单增，$\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$，$h(t)$ 单减
$\because h(1)=\cos 1+\sin 1>0$，$h\left( \dfrac{\pi}{2} \right)=\dfrac{\pi}{2}>0$，$h(\pi)=-1<0$
$\therefore$ 存在 $t_0\in\left( \dfrac{\pi}{2},\pi \right)$，使得 $h(t_0)=0$
$\therefore 1<t<t_0$ 时 $h(t)>0$，$t_0<t<\pi$ 时，$h(t)<0$
$\therefore \dfrac{1}{t_0}<x<1$ 时，$f'(x)>0$，$\dfrac{1}{\pi}<x<\dfrac{1}{t_0}$ 时，$f'(x)<0$
$\therefore \dfrac{1}{t_0}<x<1$ 时，$f(x)$ 单增，$\dfrac{1}{\pi}<x<\dfrac{1}{t_0}$ 时 $f(x)$ 单减
$\therefore f(x)$ 在 $x\in\left( \dfrac{1}{\pi},1 \right]$ 上存在唯一的极值点。D 正确
16、 已知双曲线 $E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0,b>0$）的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$A$ 为其右顶点，$P$ 为双曲线右支上一点，直线 $PF_1$ 与 $y$ 轴交于 $Q$ 点，若 $AQ\parallel PF_2$，则双曲线的离心率的取值范围
解：设 $P(x_1,y_1)$，$Q(0,y_2)$
$\because AQ\verb|//|PF_2$
$\therefore \dfrac{F_1Q}{F_1P}=\dfrac{c+a}{2c}$
$\therefore \overrightarrow{F_1Q}=\dfrac{c+a}{2c}\overrightarrow{F_1P}$
$\therefore (c,y_2)=\dfrac{c+a}{2c}(x_1+c,y_1)$
$\therefore c=\dfrac{c+a}{2c}(x_1+c)$
$\therefore x_1=\dfrac{2c^{2}}{c+a}-c>a$
$\therefore c^{2}-2ac-a^{2}>0$
$\therefore e^{2}-2e-1>0$
$\therefore e>\sqrt{2}+1$
对选项 D
设点 $Q(x,y)$ 依题可知
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{-x_0}{y_0}=-1 \\ x_0\cdot\dfrac{x}{2}+y_0\cdot\dfrac{y}{2}=4 \\ |x_0-y_0|+|x_0+y_0|=2 \end{array} \right.$
由前两个可以得到 $x_0=\dfrac{4x}{x^{2}+y^{2}}$，$y_0=\dfrac{4y}{x^{2}+y^{2}}$ 带入
第三个式子得 $\left| \dfrac{4(x-y)}{x^{2}+y^{2}} \right|+\left| \dfrac{4(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \right|=2$
$\therefore |x-y|+|x+y|=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}$
$\therefore x\geq y$ 且 $x\geq -y$ 时，$(x-2)^{2}+y^{2}=4$
$x\geq y$ 且 $x<-y$ 时，$x^{2}+(y+2)^{2}=4$
$x<y$ 且 $x\geq -y$ 时，$x^{2}+(y-2)^{2}=4$
$x<y$ 且 $x<-y$ 时，$(x+2)^{2}+y^{2}=4$
$\therefore$ 点 $Q$ 轨迹所围成的区域为四部分，每部分包括一个等腰三角形和半圆，
面积和为 $16+8\pi$。故 D 正确