eᵃ⁻ᵇ⁺ᶜ+eᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ=e²(a-1)

已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac{1}{x}-a\right|+1$，对任意实数 $x_{1},x_{2},x_{3}\in\left[\dfrac{1}{3},3\right]$，以 $f\left(x_{1}\right)$，$f\left(x_{2}\right)$，$f\left(x_{3}\right)$ 数值为边长可构成三角形，则实数 $a$ 的取值范围为__。

附：相关解析片段

$\because e^{a-b+c}+e^{a+b-c}\geq2\sqrt{e^{2a}}=2e^{a}$（$a-b+c=a+b-c$ 即 $b=c$ 时等号成立）

$\therefore e^{2}\left(a-1\right)\geq2e^{a}$（$b=c$ 时等号成立）

$\therefore e^{a-2}\leq a-1$

$\because e^{x-2}\geq x-2+1=x-1$（由 $e^{x}\geq x+1$ 得到）

$\therefore e^{a-2}\geq a-1$

$\therefore e^{a-2}=a-1$

$\therefore \dfrac{abc}{a^{4}+b^{4}+c^{4}}=\dfrac{2b^{2}}{16+2b^{4}}=\dfrac{1}{b^{2}+\dfrac{8}{b^{2}}}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}$