m³-6m²+15m=1

14. 已知 $m^{3}-6m^{2}+15m=1$，$n^{3}-6n^{2}+15n=27$，那么 $m+n$ 的值是__。

解： 设 $f(x)=x^{3}-6x^{2}+15x$，则 $f'(x)=3x^{2}-12x+15=3\left(x^{2}-4x+5\right)>0$

$\therefore f(x)$ 单增

$\therefore f(0)=0$

$\therefore x>0$ 时 $f(x)>0$

$\because m^{3}-6m^{2}+15m=1$，$n^{3}-6n^{2}+15n=27$

$\therefore m>0$，$n>0$

两式相加得 $\left(m^{3}+n^{3}\right)-6\left(m^{2}+n^{2}\right)+15(m+n)=28$ ①

令 $m+n=t$，则 $m^{2}+n^{2}=t^{2}-2mn$，$mn\leq\dfrac{t^{2}}{4}$

$\therefore$ ① 可化为 $\left(t-4\right)\left(t^{2}-2t+7\right)=3mn(t-4)$

当 $t-4>0$ 时 $t^{2}-2t+7=3mn\leq\dfrac{3t^{2}}{4}$，即 $t^{2}-8t+28\leq0$（舍去）

当 $t-4<0$ 时 $\left(t-4\right)\left(t^{2}-2t+7\right)\geq\dfrac{3t^{2}}{4}(t-4)$，同样 $t^{2}-8t+28\leq0$（舍去）

$\therefore t=4$

$\therefore m+n=4$