题目：若过点 $P(1,m)\ (m\in R)$ 有 $3$ 条直线与函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{x}$ 的图象相切，则 $m$ 的取值范围是＿＿＿＿＿.
【解】由题意可得 $f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}$，
设切点坐标为 $\left(x_{0},y_{0}\right)$，则切线斜率 $k=\left(x_{0}+1\right)\cdot\mathrm{e}^{x_{0}}$，
所以切线方程为 $y-x_{0}\mathrm{e}^{x_{0}}=\left(x_{0}+1\right)\cdot\mathrm{e}^{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$，
将 $P(1,m)$ 代入得 $m=\left(-x_{0}^{2}+x_{0}+1\right)\cdot\mathrm{e}^{x_{0}}$.
因为存在三条切线，即方程 $m=\left(-x^{2}+x+1\right)\cdot\mathrm{e}^{x}$ 有三个不等实数根，
则方程 $m=\left(-x^{2}+x+1\right)\cdot\mathrm{e}^{x}$ 有三个不等实数根等价于函数 $y=\left(-x^{2}+x+1\right)\mathrm{e}^{x}$，$y=m$ 的图像有三个交点，
设 $g(x)=\left(-x^{2}+x+1\right)\mathrm{e}^{x}$，则 $g'(x)=-(x-1)(x+2)\mathrm{e}^{x}$，
当 $x\in(-2,1)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；
在 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,+\infty)$ 上，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，$g(-2)=-\dfrac{5}{\mathrm{e}^{2}}$，
当 $x<\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $x>\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ 时，$g(x)<0$，
画出 $g(x)=\left(-x^{2}+x+1\right)\mathrm{e}^{x}$ 的图象如图，
要使函数 $y=\left(-x^{2}+x+1\right)\mathrm{e}^{x}$，$y=m$ 的图像有三个交点，需 $g(-2)<m<0$，
即 $-\dfrac{5}{\mathrm{e}^{2}}<m<0$，即 $m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{5}{\mathrm{e}^{2}},0\right)$，
故答案为：$\left(-\dfrac{5}{\mathrm{e}^{2}},0\right)$