1．设$x={\text{e}}^{0.03}$，$y={1.03}^{2}$，$z=ln\left( {\text{e}}^{0.6}+{\text{e}}^{0.4} \right)$，则$x$，$y$，$z$的大小关系为（ ）
A．$z>y>x$ B．$y>x>z$
C．$x>z>y$ D．$z>x>y$
解 易得$lnx=0.03$，$lny=2ln1.03=2ln\left( 1+0.03 \right)$，
令$f\left( x \right)=x - 2ln(1+x)(0<x<\frac{1}{10})$，
${f}^{'}(x)=1 - \frac{2}{x+1}=\frac{x - 1}{x+1}<0$，
∴$f\left( x \right)$在$\left( 0,\frac{1}{10} \right)$上递减，
$ \therefore f\left( x \right)<f\left( 0 \right)=0$则$x<2ln\left( 1+x \right)$，
∴$0.03<2ln\left( 1+0.03 \right)$，
故$y>x$，
$z=ln\left( {\text{e}}^{0.6}+{\text{e}}^{0.4} \right)>ln2\sqrt{{\text{e}}^{0.6+0.4}}=ln2+ln\sqrt{\text{e}}=ln2+\frac{1}{2} \approx 1.2$，
$y={1.03}^{2}=1.0609<z$，
故$z>y>x$，故选：A.
2．已知$a={2022}^{2023}$，$b={2023}^{2022}$，$c={log}_{2022}2023$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A．$a<b<c$ B．$b<a<c$ C．$\text{c<a<b}$ D．$c<b<a$
解：令$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$，则${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1 - lnx}{{x}^{2}}$，
则当$x>\text{e}$时，${f}^{'}\left( x \right)<0$，
则当$x>\text{e}$时，$f\left( x \right)$单调递减，
则$f\left( 2023 \right)<f\left( 2022 \right)$，
即$\frac{ln2023}{2023}<\frac{ln2022}{2022}$，
则$2022ln2023<2023ln2022$，
即$ln{2023}^{2022}<ln{2022}^{2023}$，
即$b<a$，
$ \because b={2023}^{2022}>2$，$2>c={log}_{2022}2023>1$，
$ \therefore c<b$，
则$c<b<a$，
故选：D.
5． 已知，，，则
A． B. C. D．
9．设$a={\text{log}}_{3}4+{\text{log}}_{4}3,{3}^{a}+{4}^{a}={5}^{b}$，则（ ）
A．$a>b>2$ B．$a>2>b$
C．$b>a>2$ D．$b>2>a$
解 因为${\text{log}}_{3}4>0,{\text{log}}_{4}3>0$，且${\text{log}}_{3}4 \neq {\text{log}}_{4}3$，
所以${\text{log}}_{3}4+{\text{log}}_{4}3>2\sqrt{{\text{log}}_{3}4 \cdot {\text{log}}_{4}3}=2\sqrt{\frac{lg4}{lg3} \times \frac{lg3}{lg4}}=2$，即$a>2$，
因为函数$y={3}^{x},y={4}^{x}$是单调递增函数，
所以函数$y={3}^{x}+{4}^{x}$是单调递增函数，
所以当$a>2$时，有${3}^{a}+{4}^{a}>{3}^{2}+{4}^{2}=25$，
因为${3}^{a}+{4}^{a}={5}^{b}$，
所以有${5}^{b}>25={5}^{2} \Rightarrow b>2$，
由${3}^{a}+{4}^{a}={5}^{b} \Rightarrow {\left( \frac{3}{5} \right)}^{a}+{\left( \frac{4}{5} \right)}^{a}={5}^{b - a}$，
因为函数$y={\left( \frac{3}{5} \right)}^{x},y={\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}$是单调递减函数，
所以函数$f\left( x \right)={\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}+{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}$是单调递减函数，
因为$a>2$，所以$f\left( a \right)<f\left( 2 \right) \Rightarrow {\left( \frac{3}{5} \right)}^{a}+{\left( \frac{4}{5} \right)}^{a}<1 \Rightarrow {5}^{b - a}<1 \Rightarrow b - a<0 \Rightarrow b<a$，
因此$a>b>2$，故选：A
- 已知a，b，c满足，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，
根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.