比较大小（两道数学试题）

题 6：若 $a=\dfrac{10}{11}\cdot\mathrm e^{\frac{11}{10}}$，$b=\dfrac{10\mathrm e^2}{11}\cdot\ln\dfrac{11}{10}$，$c=\mathrm e$，则（　　）

A. $b<c<a$　　B. $a<b<c$　　C. $c<b<a$　　D. $a<c<b$

题 6 解答

解：$a=\dfrac{10}{11}\cdot\mathrm e^{\frac{11}{10}}=\dfrac{\mathrm e^{\frac{11}{10}}}{\frac{11}{10}}$；

$b=\dfrac{10\mathrm e^2}{11}\cdot\ln\dfrac{11}{10}=\dfrac{\ln\frac{11}{10}}{\frac{11}{10}}\cdot\mathrm e^2$。

设 $f(x)=\mathrm e^x-\mathrm e x$，$g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$。

则 $f'(x)=\mathrm e^x-\mathrm e$，$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

$\therefore\ x>1$ 时 $f(x)$ 单增，$x<1$ 时 $f(x)$ 单减，$f(x)$ 极小值为 $f(1)=0$；

$0<x<\mathrm e$ 时 $g(x)$ 单增，$x>\mathrm e$ 时 $g(x)$ 单减。

$\therefore\ a>c>b$。

故选：A

题 7：若 $a=\dfrac{1011}{506}\cdot\mathrm e^{\frac{1009}{1014}}$，$b=\dfrac{1009}{507}\cdot\mathrm e^{\frac{1011}{1012}}$，$c=\dfrac{2016}{507}$，$\mathrm e$ 是自然对数的底数，则（　　）

A. $c>a>b$　　B. $b>a>c$　　C. $c>b>a$　　D. $a>b>c$

题 7 解答

解：设 $f(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{2x}$，则 $f'(x)=\dfrac{2\mathrm e^x(x-1)}{(2x)^2}$。

$\therefore\ 0<x<1$ 时 $f(x)$ 单减，$x>1$ 时 $f(x)$ 单增。

$\therefore\ a>b$。

$\therefore\ b>c$。

$\therefore\ a>b>c$。

故选：D

（注：$\mathrm e^{\frac{1011}{1012}}>\left(1+\frac{1011}{1012}\right)\cdot\frac{1011}{1012}$ 处用了 $\mathrm e^x>x+1$ 的常用放缩。）