函数零点组成等差数列

16. 已知函数 $f(x)=(x^{2}-6x+m)\left(e^{x-3}+e^{3-x}-n\right)$ 的 4 个零点成以 0 为首项的等差数列，则 $m+n=$ $\underline{\qquad}$。

解： 设 $x^{2}-6x+m=0$ 二根为 $x_{1},x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=m$；

设 $e^{3-x}+e^{x-3}-n=0$ 二根为 $x_{3},x_{4}$。令 $g(x)=e^{3-x}+e^{x-3}-n$，

$\because g(3-x)=e^{x}+e^{-x}-n$，$g(3+x)=e^{-x}+e^{x}-n$，

$\therefore g(3-x)=g(3+x)$，即 $g(x)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称，$\therefore x_{3}+x_{4}=6$。

$\therefore$ 4 个实根之和为 12，组成的等差数列为 $0,\ 2,\ 4,\ 6$。

若 $x_{1}=0$，$x_{2}=6$，则 $m=0$，$n=e+\dfrac{1}{e}$，此时 $m+n=e+\dfrac{1}{e}$；

若 $x_{3}=0$，$x_{4}=6$，则 $n=e^{3}+\dfrac{1}{e^{3}}$，$m=8$，此时 $m+n=e^{3}+\dfrac{1}{e^{3}}+8$。

综上：$m+n=e+\dfrac{1}{e}$ 或 $e^{3}+\dfrac{1}{e^{3}}+8$。