已知 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的减函数，且当 $x \neq 0$ 时，$f(x) f\!\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{f(x)}\right) = 2$，若 $f(1) \neq 1$，则 $f(1) = \underline{\quad}$.
解：由 $f(x) f\!\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{f(x)}\right) = 2$，且 $f(1) \neq 0$，得
$f(1) f\!\left(1 - \frac{1}{f(1)}\right) = 2,$
令 $a = f(1)$，$t = 1 - \frac{1}{f(1)}$，则 $f(t) = \frac{2}{a}$，且
$f(t) f\!\left(\frac{1}{t} - \frac{1}{f(t)}\right) = 2.$
故 $\frac{2}{a} f\!\left(\frac{1}{t} - \frac{a}{2}\right) = 2$，即 $f\!\left(\frac{1}{t} - \frac{a}{2}\right) = a = f(1)$。
因为 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的减函数，所以 $\frac{1}{t} - \frac{a}{2} = 1$，即
$\frac{1}{1 - \frac{1}{a}} - \frac{a}{2} = 1,$
即 $a^2 - a - 2 = 0$，故 $a = -1$ 或 $a = 2$。
若 $a = 2$，则 $f(1) = 2$，$t = \frac{1}{2}$，此时 $f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 1 < f(1)$，这与 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的减函数矛盾；
当 $a = -1$ 时，经检验符合题意，故 $a = f(1) = -1$。