a,b,c 单位向量，模的和最小值

题7

已知 $|\vec{a}|=\sqrt3$，$|\vec{b}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$|\vec{c}+\vec{a}|+|\vec{c}-\vec{a}|=4$，$\vec{d}^{\,2}-4\vec{b}\cdot\vec{d}+3=0$，则 $|\vec{c}-\vec{d}|$ 的最大值为（　）

A. $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}+1$　　B. $4$　　C. $\dfrac{4\sqrt{21}}{3}+2$　　D. $\dfrac{31}{3}$

解（轨迹法）：依题可设 $\vec{a}=(\sqrt3,0)$，$\vec{b}=(0,1)$，$\vec{c}=(x,y)$，$\vec{d}=(x',y')$。

由 $|\vec{c}+\vec{a}|+|\vec{c}-\vec{a}|=4$：

\sqrt{(x-\sqrt3)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x+\sqrt3)^2+(y+0)^2}=4

由 $\vec{d}^{\,2}-4\vec{b}\cdot\vec{d}+3=0$：$x'^2+(y'-2)^2=1$。

$\therefore$ 点 $(x,y)$ 轨迹是以 $(-\sqrt3,0),(\sqrt3,0)$ 为焦点的椭圆，方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$；

点 $(x',y')$ 轨迹是以 $(0,2)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆。

$\therefore |\vec{c}-\vec{d}|$ 的几何意义为椭圆上的点到圆上的点的距离。

设椭圆上点为 $(x,y)$，到圆心 $(0,2)$ 的距离为

\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{-3y^2-4y+8}=\sqrt{-3\left(y+\frac{2}{3}\right)^2+8+\frac{4}{3}}\le\frac{2\sqrt{21}}{3}

\therefore\ |\vec{c}-\vec{d}|_{\max}=\frac{2\sqrt{21}}{3}+1

故选 A。

题8

已知 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为单位向量，且 $|3\vec{a}-5\vec{b}|=7$，则 $|2\vec{a}-\vec{c}|+|\vec{b}-2\vec{c}|$ 的最小值为（　）

A. $2$　　B. $2\sqrt3$　　C. $4$　　D. $6$

解：$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为单位向量，有 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，得 $\vec{a}^2=\vec{b}^2=\vec{c}^2=1$。

由 $|3\vec{a}-5\vec{b}|=7$，得 $(3\vec{a}-5\vec{b})^2=9\vec{a}^2-30\vec{a}\cdot\vec{b}+25\vec{b}^2=49$，

有 $\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}$，所以 $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\dfrac{2\pi}{3}$。

|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}-\vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2}=\sqrt3

$|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{b}$，有 $|\vec{b}-2\vec{c}|=|2\vec{b}-\vec{c}|$。

则由三角不等式：

|2\vec{a}-\vec{c}|+|\vec{b}-2\vec{c}|=|2\vec{a}-\vec{c}|+|2\vec{b}-\vec{c}|\ge|2\vec{a}-2\vec{b}|=2\sqrt3

当且仅当 $2\vec{a}-\vec{c}$ 与 $2\vec{b}-\vec{c}$ 方向相反时"="成立。

如取 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，$\vec{c}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ 时，可使"="成立。

所以 $\left(|2\vec{a}-\vec{c}|+|\vec{b}-2\vec{c}|\right)_{\min}=2\sqrt3$，故选 B。

几何解释：$|2\vec{a}-\vec{c}|$ 即单位圆上点 $\vec{c}$ 到点 $A(2\vec{a})$ 的距离，$|2\vec{b}-\vec{c}|$ 即到点 $B(2\vec{b})$ 的距离；显然 $|CA|+|CB|\ge|AB|=2\sqrt3$，当 $\vec{c}$ 在线段 $AB$ 与单位圆的交点处取等。

a,b,c单位向量，模的和最小

a,b,c 单位向量，模的和最小值

题7

题8