5．已知$a > 0$，$b \in R$，若$x > 0$时，关于$x$的不等式$(ax - 2)\left( x^{2} + bx - 5 \right) \geq 0$恒成立，则$b + \frac{4}{a}$的最小值为（ ）
A．2 B．$2\sqrt{5}$ C．$4\sqrt{3}$ D．$3\sqrt{2}$
解 设$y = ax - 2$（$x > 0$），$y = x^{2} + bx - 5$（$x > 0$），
因为$a > 0$，所以当$0 < x < \frac{2}{a}$时，$y = ax - 2 < 0$；
当$x = \frac{2}{a}$时，$y = ax - 2 = 0$；
当$x > \frac{2}{a}$时，$y = ax - 2 > 0$；
由不等式$(ax - 2)\left( x^{2} + bx - 5 \right) \geq 0$恒成立，得：$\left\{ \begin{array}{r} ax - 2 \leq 0 \\ x^{2} + bx - 5 \leq 0 \end{array} \right.$或$\left\{ \begin{array}{r} ax - 2 \geq 0 \\ x^{2} + bx - 5 \geq 0 \end{array} \right.$，
即当$0 < x \leq \frac{2}{a}$时，$x^{2} + bx - 5 \leq 0$恒成立，
当$x \geq \frac{2}{a}$时，$x^{2} + bx - 5 \geq 0$恒成立，
所以当$x = \frac{2}{a}$时，$y = x^{2} + bx - 5 = 0$，则$\frac{4}{a^{2}} + \frac{2b}{a} - 5 = 0$，即$b = \frac{5a}{2} - \frac{2}{a}$，
则当$a > 0$时，$b + \frac{4}{a} = \frac{5a}{2} - \frac{2}{a} + \frac{4}{a} = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{\frac{5a}{2} \times \frac{2}{a}} = 2\sqrt{5}$，
当且仅当$\frac{5a}{2} = \frac{2}{a}$，即$a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$时等号成立，
所以$b + \frac{4}{a}$的最小值为$2\sqrt{5}$.
故选：B.