绝对值函数最大值的最小值

本文档为一页教研材料：顶部为一页手写笔记照片，正文为印刷版讲义（含例题、四个变式、理论分析与参考文献）。右栏部分文字原件分辨率所限难以完全辨认，已按可辨内容照实转录并标注。

手写笔记（方法总结）

$|f(x)-g(x)|\le b$，求 $b_{\min}$：

将 $f(x)$ 首尾相连成为直线 $l_1$；
在 $f(x)$ 底部作一条与 $l_1$ 平行的直线 $l_2$；
$l_1$、$l_2$ 中间平行直线 $g(x)$ 满足题意，此时 $b_{\min}=\dfrac{d(l_1,l_2)}{2}$。

例题

已知函数 $f(x)=\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|$，$x\in[0,1]$，其中 $a$，$b\in R$，$f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，则 $M(a,b)$ 的最小值为。

【答案】$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$

【解析】

【详解】函数 $f(x)=\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\le M(a,b)$，即四分之一圆 $y=\sqrt{1-x^2}$，$x\in[0,1]$ 上的点到直线 $x+y=1$ 上的最大距离为 $1-\dfrac{\sqrt2}{2}$，此时圆上的点记为 $P$，如图：

只有过 $PN$ 的中点且平行于直线 $x+y=1$ 的直线才满足条件，所以当 $a=-1$，$b=\dfrac{\sqrt2+1}{2}$ 时，$M(a,b)$ 的最小值为 $g(x)=\sqrt{1-x^2}$，$x\in[0,1]$ 与 $h(x)=ax+b=-x+\dfrac{\sqrt2+1}{2}$ 的纵向距离，即 $M(a,b)$ 的最小值为

\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2-1}{2}

故答案为：$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$

变式（右栏，部分辨认）

变式（$y=x^2$ 型）：……距直线 $y=x$，再作与它平行的直线与曲线相切于 $C\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$，即直线 $y=x-\dfrac14$。那么夹在这两条直线之间的 $y=x-\dfrac18$ 就是所要求的直线，此时与 $y=x^2$ 纵向距离最大值的最小值是 $\dfrac18$（图 7）。

变式（$|x^2-b|$ 型）：$f(x)=|x^2-b|$，$x\in[0,1]$，$f(x)$ 的最大值为 $g(b)$，则……令 $t=x^2\in[0,1]$，则问题转化为 $b$ 到 $0$ 与 $1$ 距离的最小值，最小值等于 $\dfrac12$（图 5）。

变式 4：设函数 $f(x)=\left|x^3-ax-b\right|$（原文形式依稀可辨），$x\in[0,1]$，其中 $a,b\in R$，记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，则 $M(a,b)$ 的最小值为。

【解析】与变式 3 的唯一区别就是 $x$ 的取值范围变了，这样构造的函数 $y=x^3$ 就是不对称图形。……$g(x)=x^3$ 和 $y=ax+b$ 距离最大值的最小值（图 6），可以对 $y=ax+b$ 进行平移、连续调整……

对于以上 4 个变式，我们采用了统一的方法，利用绝对值的几何意义，将最值问题转化为图形的距离问题。那么对于这类最大值的最小值问题，它是否能推广到更一般的情形，这类问题背后的理论支撑又是什么呢？

三、理论基础

$\left|f(x)-ax-b\right|$ 实际应用的是切比雪夫最佳逼近直线理论：记集合 $A=\{g(x)=ax+b\mid a\in R,\ b\in R\}$，若存在函数 $g_0(x)\in A$，使得对任意 $g(x)\in A$，恒有

\max_{a\le x\le b}\left|f(x)-g_0(x)\right|\le\max_{a\le x\le b}\left|f(x)-g(x)\right|\quad(*)

成立，则称 $g_0(x)$ 为函数 $f(x)$ 在切比雪夫意义下的最佳逼近直线，简称最佳逼近直线。

显然，$(*)$ 式也可改写为等式 $\max\limits_{a\le x\le b}\left|f(x)-g_0(x)\right|=\min\limits_{a,b\in R}\max\limits_{a\le x\le b}\left|f(x)-g(x)\right|$。

绝对值双重最值的实质是求最大值的最小值，将绝对值里的代数式看成两个函数的差，数形结合，化为两个函数的纵向距离，通过移动其中一条直线，寻找纵向距离的最小值。

本文提供的三题引申中，参数有一个也有二个，有正向提问，也有反向提问，但本质都不变，考查的是 $\min\max\left|f(x)-g(x)\right|$，主要目的是培养学生的抽象能力及理性思维能力。

本文从"绝对值"的几何意义出发，设计了环环相扣的问题链，从不含参的绝对值问题到含有一个参数的问题到含两个参数的绝对值问题，再由含两个参数的绝对值问题，从对称曲线到不对称曲线，最后提升到切比雪夫最佳逼近直线理论。整个过程自然、生动、清晰，挖掘问题的各个方面，是一个完整的理论分析。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.