A、B 关于 y 轴对称，|AB| 的最小值
题目：设 $A$、$B$ 是平面直角坐标系中关于 $y$ 轴对称的两点，且 $|\overrightarrow{OA}|=2$。若存在 $m,n\in R$，使得 $m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}$ 与 $n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}$ 垂直，且 $\left|\left(m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}\right)-\left(n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\right)\right|=2$，则 $|\overrightarrow{AB}|$ 的最小值为 。
解答
设 $A(-x,y)$，$B(x,y)$。
依题可得：
$$m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}=(2mx-x,\ y),\qquad n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}=(2nx+x,\ y)$$
由垂直条件：
$$m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}\perp n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\ \Longrightarrow\ (2m-1)(2n+1)x^2+y^2=0$$
由距离条件：$\left(m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}\right)-\left(n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(2(m-n-1)x,\ 0\right)$，故
$$4(m-n-1)^2x^2=4$$
又 $|\overrightarrow{OA}|=2$，即 $x^2+y^2=4$，于是
$$\begin{cases}\left[1-(2m-1)(2n+1)\right]x^2=4\\ (m-n-1)^2x^2=1\end{cases}\ \Longrightarrow\ 1-(2m-1)(2n+1)=4(m-n-1)^2$$
设 $m-n-1=t$，则 $m=t+n+1$：
$$1-4t^2=(2t+2n+1)(2n+1)\ \Longrightarrow\ n^2+(t+1)n+\left(t^2+\frac{t}{2}\right)=0$$
$n$ 有实数解，故判别式非负：
$$\Delta=(t+1)^2-4\left(t^2+\frac{t}{2}\right)\ge0\ \Longrightarrow\ t^2\le\frac13$$
由 $(m-n-1)^2x^2=1$ 得 $x^2=\dfrac{1}{t^2}$，而 $|\overrightarrow{AB}|=2|x|$：
$$\therefore\ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4x^2}=2\sqrt{\frac{1}{t^2}}\ge\boxed{2\sqrt3}$$