1．若$a=\frac{10}{11} \cdot {\text{e}}^{\frac{11}{10}}$，$b=\frac{10{\text{e}}^{2}}{11} \cdot ln\frac{11}{10}$，$c=\text{e}$，则（ ）
A．$b<c<a$ B．$a<b<c$ C．$c<b<a$ D．$a<c<b$
解 因为$a=\frac{10}{11} \cdot {\text{e}}^{\frac{11}{10}}$，$b=\frac{10{\text{e}}^{2}}{11} \cdot ln\frac{11}{10}=\frac{10}{11}{\text{e}}^{2} \cdot ln\frac{11}{10}$，$c=\frac{10}{11} \times \frac{11}{10}\text{e}$，
所以只需要比较${\text{e}}^{\frac{11}{10}}$，${\text{e}}^{2} \cdot ln\frac{11}{10}$，$\frac{11}{10}\text{e}$的大小即可，
令$f\left( x \right)={\text{e}}^{x} - \text{e} \cdot x\left( x>1 \right)$，则${f}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - \text{e}$，
因为$x>1$，所以${\text{e}}^{x}>\text{e}$，则${f}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - \text{e}>\text{0}$，所以$f\left( x \right)$在$\left( 1,+ \infty \right)$上单调递增，
故$f\left( \frac{11}{10} \right)>f\left( 1 \right)=0$，则${\text{e}}^{\frac{11}{10}} - \frac{11}{10}\text{e}>\text{0}$，即${\text{e}}^{\frac{11}{10}}>\frac{11}{10}\text{e}$，
所以$a=\frac{10}{11} \cdot {\text{e}}^{\frac{11}{10}}>\frac{10}{11} \times \frac{11}{10}\text{e}=c$；
令$g\left( x \right)={\text{e}}^{2}lnx - \text{e} \cdot x\left( 0<x<\text{e} \right)$，则${g}^{'}\left( x \right)=\frac{{\text{e}}^{2}}{x} - \text{e}=\frac{\text{e} \cdot \left( \text{e} - x \right)}{x}$，
因为$0<x<\text{e}$，所以$\text{e} - x>0$，${g}^{'}\left( x \right)=\frac{\text{e} \cdot \left( \text{e} - x \right)}{x}>0$，所以$g\left( x \right)$在$\left( 0,\text{e} \right)$上单调递增，
故$g\left( \frac{11}{10} \right)<g\left( \text{e} \right)=0$，即${\text{e}}^{2} \cdot ln\frac{11}{10} - \frac{11}{10}\text{e}<\text{0}$，即${\text{e}}^{2} \cdot ln\frac{11}{10}<\frac{11}{10}\text{e}$，
所以$b=\frac{10}{11}{\text{e}}^{2} \cdot ln\frac{11}{10}<\frac{10}{11} \times \frac{11}{10}\text{e}=c$；
综上：$b<c<a$.故选：A.故选：D.
2．已知$a=2$，$b=\frac{{\text{e}}^{\frac{3}{2}}}{2}$，$c=8 - 8ln2$，则（ ）
A．$b<a<c$ B．$a<b<c$
C．$a<c<b$ D．$c<a<b$
解 由$18<{\text{e}}^{3}<{(2\sqrt{2})}^{3}=16\sqrt{2}$，则$a=2=\frac{\sqrt{16}}{2}<b=\frac{\sqrt{{\text{e}}^{3}}}{2}$，而$c=8 - 8ln2=8ln\frac{\text{e}}{2}$，
所以$b=\frac{\sqrt{{\text{e}}^{3}}}{2}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}$，$c=\frac{8}{3}ln{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}$，
由$18<{\text{e}}^{3}<{(2\sqrt{2})}^{3}$可得$\frac{3}{2}<\sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}<{2}^{\frac{3}{4}}$，而$c - b=\frac{8}{3}ln{(\frac{\text{e}}{2})}^{3} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}=\frac{16}{3}ln\sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}$，
故构造$y=\frac{16}{3}lnx - \sqrt{2}x$，$\frac{3}{2}<x<{2}^{\frac{3}{4}}$，
所以${y}^{'}=\frac{16}{3x} - \sqrt{2}>0$恒成立，故$y=\frac{16}{3}lnx - \sqrt{2}x$在$(\frac{3}{2},{2}^{\frac{3}{4}})$上递增，
即$y>\frac{16}{3}ln\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{16}{3}(ln\frac{3}{2} - \frac{9\sqrt{2}}{32})$，
而$\frac{9\sqrt{2}}{32}=\frac{\sqrt{2 \times {45}^{2}}}{160}=\frac{\sqrt{4050}}{160}<\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{{64}^{2}}}{160}=\frac{\sqrt{4096}}{160}$，则$ln\frac{3}{2} - \frac{9\sqrt{2}}{32}>ln\frac{3}{2} - \frac{2}{5}=ln\frac{3}{2\sqrt[5]{{\text{e}}^{2}}}=ln\sqrt[5]{\frac{243}{32{\text{e}}^{2}}}>0$，
所以当$x \in (\frac{3}{2},{2}^{\frac{3}{4}})$时，$y=\frac{16}{3}lnx - \sqrt{2}x>0$，
因为$\frac{3}{2}<\sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}<{2}^{\frac{3}{4}}$，所以$\frac{16}{3}ln\sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(\frac{\text{e}}{2})}^{3}}>0$，即$c>b$，
综上，$a<b<c$.
故选：B
3．已知$a=\frac{1}{100}$，$b={\text{e}}^{ - \frac{99}{100}}$，$c=ln\frac{101}{100}$，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．$a>b>c$ B．$b>a>c$
C．$c>a>b$ D．$b>c>a$
解 设函数$f(x)={\text{e}}^{x} - x - 1,x \in \text{R}$,则${f}^{'}(x)={\text{e}}^{x} - 1$，
当$x<0$时，${f}^{'}(x)<0$，$f(x)$递减；当$x>0$时，${f}^{'}(x)>0$，$f(x)$递增，
故$f(x) \geq f(0)=0$，即${\text{e}}^{x} \geq 1+x$，当$x=0$时取等号；
∵${\text{e}}^{x} \geq 1+x$，∴${\text{e}}^{ - \frac{99}{100}}>1 - \frac{99}{100}=\frac{1}{100}$，∴$b>a$，
由以上分析可知${\text{e}}^{x} \geq 1+x$，则$x>0$时，有${\text{e}}^{x - 1} \geq x$成立，当$x=1$时取等号，，
即$lnx \leq x - 1$，当$x=1$时取等号，∴$ln\frac{101}{100}<\frac{101}{100} - 1=\frac{1}{100}$，∴$a>c$，
故$b>a>c$，故选：B.
4、已知${3}^{5}<{2.5}^{6}$，设$a=\frac{12}{11}$，$b={\text{e}}^{\frac{1}{12}}$，$c=ln3$，则（ ）
A．$a<b<c$ B．$\text{b<c<a}$ C．$\text{c}<\text{a}<\text{b}$ D．$b<a<c$
解 $a=\frac{12}{11}=\frac{1}{1 - \frac{1}{12}}$，比较a与b的大小关系等价于比较1与$(1 - \frac{1}{12}){\text{e}}^{\frac{1}{12}}$的大小关系，
设$f(x)=(1 - x){\text{e}}^{x}$，则${f}^{'}(x)= - x{\text{e}}^{x}$，当$x>0$时，${f}^{'}(x)<0$，$f(x)$单调递减，
所以$f(\frac{1}{12})<f(0)=1$，即$a>b$；
由${3}^{5}<{2.5}^{6}$可知，$3>{(\frac{6}{5})}^{6}$，即$ln3>6ln\frac{6}{5},$比较$6ln\frac{6}{5}$与$\frac{12}{11}$的大小关系等价于比较
$ln\frac{6}{5}$与$\frac{2}{11}=\frac{2 \times (\frac{6}{5} - 1)}{\frac{6}{5}+1}$的大小关系，设$g(x)=lnx - \frac{2(x - 1)}{x+1}$，
则${g}^{'}(x)=\frac{{(x - 1)}^{2}}{x{(x+1)}^{2}}$，当$x>1$时，${g}^{'}(x)>0$，$g(x)$单调递增，所以$g(\frac{6}{5})>g(1)=0$，
即$a<c$，综上，$b<a<c$.
故选：D
5．若$a=4ln\frac{4}{3}$，$b=\frac{4}{3}$，$c={\text{e}}^{\frac{1}{4}}$，则（ ）
A．$a<b<c$ B．$c<b<a$ C．$\text{c<a<b}$ D．$a<c<b$
解 首先比较b，c的大小，
由题意知${b}^{4}={\left( \frac{4}{3} \right)}^{4}=\frac{256}{81}>3$，${c}^{4}={\left( {\text{e}}^{\frac{1}{4}} \right)}^{4}=\text{e}<3$，所以$c<b$；
作差得$c - a={\text{e}}^{\frac{1}{4}} - 4ln\frac{4}{3}={\text{e}}^{\frac{1}{4}}+4ln\frac{3}{4}=4\left( \frac{1}{4}{\text{e}}^{\frac{1}{4}}+ln\left( 1 - \frac{1}{4} \right) \right)$，
记$h\left( x \right)=x{\text{e}}^{x}+ln\left( 1 - x \right)$，
则${h}^{'}\left( x \right)=\left( x+1 \right){\text{e}}^{x}+\frac{1}{x - 1}=\frac{\left( {x}^{2} - 1 \right){\text{e}}^{x}+1}{x - 1}\left( x<1 \right)$，
记$p\left( x \right)=\left( {x}^{2} - 1 \right){\text{e}}^{x}+1$，
则${p}^{'}\left( x \right)=\left( {x}^{2}+2x - 1 \right){\text{e}}^{x}$，
令${p}^{'}\left( x \right)<0$，得$ - 1 - \sqrt{2}<x< - 1+\sqrt{2}$，
所以当$x \in \left( 0,\sqrt{2} - 1 \right)$时，${p}^{'}\left( x \right)<0$，函数$p\left( x \right)$单调递减.
又$p\left( 0 \right)=0$，所以当$x \in \left( 0,\sqrt{2} - 1 \right)$时，$p\left( x \right)<0$.
所以当$x \in \left( 0,\sqrt{2} - 1 \right)$时，${h}^{'}\left( x \right)>0$，
函数$h\left( x \right)$单调递增.又$h\left( 0 \right)=0$，所以$h\left( \frac{1}{4} \right)>0$，
则$c - a=4h\left( \frac{1}{4} \right)>0$，所以$c>a$，综上，$a<c<b$.故选：D.
6．设$a\text{=}{\text{e}}^{\text{-0.3}}$，$b\text{=0.85}$，$c\text{=ln2.25}$，则（ ）
A．$a\text{<}b\text{<}c$ B．$a\text{<}c\text{<}b$ C．$c\text{<}b\text{<}a$ D．$c\text{<}a\text{<}b$
解 构造$f\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-e}x$，$x\mathrm{~\neq~1}$，则${f}^{'}\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-e}$，当$x\text{<1}$时，${f}^{'}\left( x \right)\text{<0}$，
当$x\text{>1}$时，${f}^{'}\left( x \right)\text{>0}$，所以$f\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-e}x$在$x\text{<1}$上单调递减，在$x\text{>1}$上单调递增，
故$f\left( x \right)\text{>}f\left( \text{1} \right)\text{=0}$，
当$x\text{=0.85}$时，${\text{e}}^{\text{0.85}}\mathrm{>0.85e>0.85~\times~2.7=2.295>2.25}$，故$\text{0.85>ln2.25}$，$b\text{>}c$；
构造$g\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-}x\text{-1}$，$x\text{>0}$，则${g}^{'}\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-1>0}$在$x\text{>0}$上恒成立，
故$g\left( x \right)\text{=}{\text{e}}^{x}\text{-}x\text{-1}$在$x\text{>0}$上单调递增，
所以$g\left( x \right)\text{>}g\left( \text{0} \right)\text{=}{\text{e}}^{\text{0}}\text{-1=0}$，故$g\left( \text{0.3} \right)\text{=}{\text{e}}^{\text{0.3}}\text{-0.3-1>0}$，
所以${\text{e}}^{\text{0.3}}\text{>1.3}$，故${\text{e}}^{\text{-0.3}}\text{<}\frac{\text{1}}{\text{1.3}}\text{=}\frac{\text{10}}{\text{13}}$，
构造$h\left( x \right)\text{=ln}x\text{-}\frac{\text{2}\left( x\text{-1} \right)}{x\text{+1}}$，定义域为$\left( \mathrm{0,+~\infty~} \right)$，
${h}^{'}\left( x \right)\text{=}\frac{\text{1}}{x}\text{-}\frac{\text{4}}{{\left( x\text{+1} \right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\left( x\text{-1} \right)}^{\text{2}}}{x{\left( x\text{+1} \right)}^{\text{2}}}\mathrm{~\geq~0}$恒成立，
故当$x\text{>1}$时，$h\left( x \right)\text{>}h\left( \text{1} \right)\text{=0}$，
所以$h\left( \text{2.25} \right)\text{=ln2.25-}\frac{\mathrm{2~\times~}\left( \text{2.25-1} \right)}{\text{2.25+1}}\text{>0}$，即$\text{ln2.25>}\frac{\text{10}}{\text{13}}$，
所以$c\text{>}a$，
综上：$b\text{>}c\text{>}a$.故选：B
7．已知$a=0.7{\text{e}}^{0.4},b=\text{eln}1.4,c=0.98$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A．$a>c>b$ B．$b>a>c$
C．$b>c>a$ D．$c>a>b$
解 构造$f\left( x \right)\text{=ln}x - \frac{1}{\text{e}}x$，$x>0$，
则${f}^{'}\left( x \right)\text{=}\frac{1}{x} - \frac{1}{\text{e}}$，当$0<x<\text{e}$时，${f}^{'}\left( x \right)>0$，当$x>\text{e}$时，${f}^{'}\left( x \right)<0$，
所以$f\left( x \right)\text{=ln}x - \frac{1}{\text{e}}x$在$0<x<\text{e}$上单调递增，在$x>\text{e}$上单调递减，
所以$f\left( x \right) \leq f\left( \text{e} \right)\text{=lne} - 1=0$，
故$\text{ln}x \leq \frac{1}{\text{e}}x$，当且仅当$x=\text{e}$时等号成立，
因为${x}^{2}>0$，所以$\text{ln}{x}^{2} \leq \frac{{x}^{2}}{\text{e}} \Rightarrow 2\text{ln}x \leq \frac{{x}^{2}}{\text{e}} \Rightarrow \text{ln}x \leq \frac{{x}^{2}}{2\text{e}} \Rightarrow \text{ln}2x \leq \frac{{(2x)}^{2}}{2\text{e}}=\frac{2}{\text{e}}{x}^{2}$，
当$x=\frac{\sqrt{\text{e}}}{2}$时，等号成立，
当$x=0.7$时，$\text{ln}1.4<\frac{2}{\text{e}} \times {(0.7)}^{2}=\frac{0.98}{\text{e}} \Rightarrow \text{eln}1.4<0.98$，所以$b<c$
构造$g\left( x \right){\text{=e}}^{x - 1} - x$，则${g}^{'}\left( x \right){\text{=e}}^{x - 1} - 1$，当$x>1$时，${g}^{'}\left( x \right)>0$，当$x<1$时，${g}^{'}\left( x \right)<0$，
所以$g\left( x \right){\text{=e}}^{x - 1} - x$在$x>1$单调递增，在$x<1$上单调递减，
故$g\left( x \right) \geq g\left( 1 \right)=0$，所以${\text{e}}^{x - 1} \geq x$，当且仅当$x=1$时，等号成立，
故${\text{e}}^{x - 1} \geq x \Rightarrow {\text{e}}^{2x - 1} \geq 2x$，当且仅当$x=0.5$时，等号成立，
令$x=0.7$，则${\text{e}}^{0.4}>1.4 \Rightarrow 0.7{\text{e}}^{0.4}>0.98$，所以$a>c$，
综上$:a>c>b$，故选：$A$
- 设，，，则（）
A. B. C. D.
- 若，，，则（）
A. B. C. D.
q
- 若，，，是自然对数的底数，则（）
A. B. C. D.
11．已知$a=ln\frac{6}{7}，b=\frac{7}{13}，c={\text{e}}^{ - \frac{6}{7}}$则（ ）
A．$a<b<c$ B．$b<a<c$
C．$b<c<a$ D．$a<c<b$
解：$ln\frac{6}{7}<0$，$\frac{7}{13}>0，{\text{e}}^{ - \frac{6}{7}}>0$.则$a<b，a<c$.
令$f\left( x \right)=ln\left( x+1 \right) - x$，其中$x> - 1$.
则${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1}{x+1} - 1=\frac{ - x}{x+1}$，
得$f\left( x \right)$在$\left( - 1,0 \right)$上单调递增，在$\left( 0,+ \infty \right)$上单调递减.
则$f\left( \frac{6}{7} \right)<f\left( 0 \right)=0 \Rightarrow ln\left( \frac{13}{7} \right)<\frac{6}{7} \Rightarrow ln\frac{7}{13}> - \frac{6}{7}$，
又函数$y={\text{e}}^{x}$在R上单调递增，则${\text{e}}^{ln\frac{7}{13}}>{\text{e}}^{ - \frac{6}{7}} \Rightarrow \frac{7}{13}>{\text{e}}^{ - \frac{6}{7}}$，即$b>c$.故$a<c<b$．故选：D
- 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
解：
构造函数，
令，，
则所以单增，
所以，所以，所以，所以.
令,，，
所以在为减函数，所以，
所以，所以，所以，
所以.