广东省深圳市南山区 2023 届高三上学期期末数学试题
题 16：若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-a\ln x-x=0$ 在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 上有且仅有一个实数根，则实数 $a$ 的取值范围为＿＿＿＿.
解答：
$x^{2}-a\ln x-x=0$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上有一个实根。
$\therefore a\ln x=x^{2}-x$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上有一个实根。
$\therefore f(x)=a\ln x$ 与 $g(x)=x^{2}-x$ 图像在 $\left(1,+\infty\right)$ 上有一个交点。
$\because y=\ln x$ 与 $y=x^{2}-x$ 有公切线 $y=x-1$ 且切点为 $(1,0)$
$\therefore a>1$
题 11：已知函数 $y=\begin{cases}2^{x}, & x\leq m \\ -\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{8}{3}, & x>m\end{cases}$ 的值域为 $\left(-\infty,2^{m}\right]$，则实数 $m$ 的取值范围是＿＿＿＿＿.
解答：
题干中的两个函数图像如右图所示，第一象限交点 $(1,2)$
$\because$ 函数值域为 $\left(-\infty,2^{m}\right]$
$\therefore 1\leq m\leq 2$