12．曲线 $y=\sin x$ 在 $x=x_0\ (x_0\geqslant 0)$ 处的切线为 $y=ax+b$，且满足 $\forall x\geqslant 0$，$\sin x\leqslant ax+b$，若 $10ab\leqslant m$，则整数 $m$ 的最小值为（ ）
A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
解答
$y=\sin x$ 在 $x_0$ 处的切线方程为 $y-\sin x_0=\cos x_0\,(x-x_0)$
$\therefore\ a=\cos x_0,\quad b=\sin x_0-x_0\cos x_0$
$\because\ \forall x\geqslant 0$，$\sin x\leqslant ax+b$
$\therefore$ 需 $b\geqslant 0$，取 $x_0\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$
$$ab=\cos x_0\,(\sin x_0-x_0\cos x_0)$$
设 $t(x)=\cos x\,(\sin x-x\cos x)$，对 $x_0$ 求导分析单调性（$t'(x)=\sin 2x\cos x-\cdots$），可得 $t(x)$ 存在极大值点 $x_4$ 与极小值点 $x_3$，其中 $x_3$ 满足
$$\tan x_3=2x_3,\qquad \cos x_3=\frac{1}{4x_3^2+1}$$
$$(ab)_{\min\text{段}}=\frac{x_3}{4x_3^2+1}$$
由对勾函数性质可知 $x+\dfrac{1}{x}$ 在 $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ 上单增，故
$$ab<\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=0.19\ \langle\text{原图此行字迹小，数值按图辨认}\rangle$$
$$\therefore\ 10ab<1.9$$
$$\therefore\ m\geqslant 2$$
答案： B
⟨注⟩ 原解答图为低分辨率截图，中间若干行（$t(x)$ 求导细节、$x_3,\ x_4$ 的方程）字迹过小无法完全辨认，已按题目逻辑补全关键步骤；结论 $10ab<1.9\Rightarrow m\geqslant 2$ 与原图一致。