f(x)=ln(2x-1) 与 g(x)=e^{2x-1} 切线

12. 已知曲线 $C_{1}:f(x)=\ln(2x-1)$ 在点 $M(x_{1},y_{1})$ 处的切线与曲线 $C_{2}:g(x)=e^{2x-1}$ 相切于点 $N(x_{2},y_{2})$，则下列结论正确的是

A. 函数 $h(x)=x^{2}g(x)-1$ 有 $2$ 个零点

B. 函数 $m(x)=\dfrac{3}{2}e\,f(x)-xg(x)$ 在 $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ 上单调递增

C. $g(x_{2})=\dfrac{1}{2x_{1}-1}$

D. $\dfrac{1}{x_{1}-1}+2x_{2}=0$

解析：

对于选项 C：依题可知 $f'(x_{1})=\dfrac{2}{2x_{1}-1}=g'(x_{2})=2e^{2x_{2}-1}$，

$\therefore \dfrac{1}{2x_{1}-1}=e^{2x_{2}-1}=g(x_{2})$，选项 C 正确。

对于选项 A：$h(x)=x^{2}e^{2x-1}-1$，$h'(x)=2e^{2x-1}(x^{2}+x)$，

$\therefore -1<x<0$ 时，$h(x)$ 单减；$x<-1$ 或 $x>0$ 时 $h(x)$ 单增，

$\therefore h(x)_{\text{极大值}}=h(-1)=\dfrac{1}{e^{3}}-1$，$h(x)_{\text{极小值}}=h(0)=-1$。

$x\to+\infty$ 时，$h(x)\to+\infty$；

$x\to-\infty$ 时，$h(x)\to-1$。

$\therefore h(x)$ 只有一个零点，选项 A 错误。

对于选项 B：$m(x)=\dfrac{3}{2}e\ln(2x-1)-xe^{2x-1}\left(\dfrac{1}{2}<x<1\right)$，$m'(x)=\dfrac{3e-(4x^{2}-1)e^{2x-1}}{2x-1}$。

设 $t(x)=(4x^{2}-1)e^{2x-1}\left(\dfrac{1}{2}<x<1\right)$，则 $t'(x)=2e^{2x-1}(4x^{2}+4x-1)>0$，

$\therefore t(x)$ 单增。

$\because t(1)=3e$，

$\therefore t(x)<3e$，

$\therefore m'(x)>0$，

$\therefore m(x)$ 在 $\dfrac{1}{2}<x<1$ 上单增。选项 B 正确。

对于选项 D：以 $M$ 为切点的方程 $y-\ln(2x_{1}-1)=\dfrac{2}{2x_{1}-1}(x-x_{1})$，

以 $N$ 为切点的方程 $y-e^{2x_{2}-1}=2e^{2x_{2}-1}(x-x_{2})$。

$\therefore \ln(2x_{1}-1)-\dfrac{2x_{1}}{2x_{1}-1}=e^{2x_{2}-1}(1-2x_{2})$，$\dfrac{1}{2x_{1}-1}=e^{2x_{2}-1}$，

$\therefore \ln(2x_{1}-1)=\dfrac{1}{2x_{1}-1}(2x_{1}-2x_{2}+1)$，又 $\ln(2x_{1}-1)=1-2x_{2}$，

$\therefore 1-2x_{2}=\dfrac{2x_{1}+1-2x_{2}}{2x_{1}-1}$，整理得 $2x_{2}(1-x_{1})=1$，

$\therefore \dfrac{1}{x_{1}-1}+2x_{2}=0$。选项 D 正确。

（综上，正确选项为 BCD。）