题目：已知曲线 $C:\ y=a\mathrm{e}^{x}-\ln ax$，直线 $l:\ y=kx+1$，若对任意 $a>0$，直线 $l$ 始终在曲线 $C$ 下方，则实数 $k$ 的取值范围为＿＿＿.
解答：
依题可知 $x>0$，$a\mathrm{e}^{x}-\ln ax>kx+1$ 恒成立。
$\therefore k<\dfrac{a\mathrm{e}^{x}-\ln ax-1}{x}=\dfrac{\mathrm{e}^{x+\ln a}-\ln a-\ln x-1}{x}$
$\because \mathrm{e}^{x}\geq x+1\ (x=0$ 时等号成立$)$
$\therefore \mathrm{e}^{x+\ln a}>x+\ln a+1$
$\therefore \dfrac{a\mathrm{e}^{x}-\ln ax-1}{x}>\dfrac{x-\ln x}{x}=1-\dfrac{\ln x}{x}$
设 $g(x)=1-\dfrac{\ln x}{x}$，$g'(x)=\dfrac{\ln x-1}{x^{2}}$
$\therefore 0<x<\mathrm{e}$ 时 $g(x)$ 单减，$x>\mathrm{e}$ 时 $g(x)$ 单增
$\therefore g(x)_{\min}=g(\mathrm{e})=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
$\therefore k<1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$