12. 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的连续函数 $f(x)$，其导函数为 $f'(x)$，且 $f(0)=\mathrm{e}$，$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$，函数 $y=f'\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 为奇函数，当 $x>\dfrac{1}{2}$ 时 $f'(x)>f(x)$，则
A. $f(1)=\mathrm{e}$ B. $f(2)>\mathrm{e}^{2}$
C. $\exists x_{0}\in\mathbf{R},\ f(x_{0})<1$ D. $f(\mathrm{e}^{0.1})>f(-\ln 1.1)$
解答
对于选项 A
$\because y=f'\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 为奇函数
$\therefore f'(x)$ 图像关于点 $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ 对称
$\therefore f(x)$ 图像关于 $x=\dfrac{1}{2}$ 对称
$\therefore f(1)=f(0)=\mathrm{e}$。选项 A 正确
对于选项 B
设 $g(x)=\dfrac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}$，则 $g'(x)=\dfrac{f'(x)-f(x)}{\mathrm{e}^{x}}$
$\because x>\dfrac{1}{2}$ 时 $f'(x)>f(x)$
$\therefore x>\dfrac{1}{2}$ 时 $g(x)$ 单增
$\therefore g(2)=\dfrac{f(2)}{\mathrm{e}^{2}}>g(1)=\dfrac{f(1)}{\mathrm{e}}$
$\therefore f(2)>\mathrm{e}^{2}$。选项 B 正确
对于选项 C
由上可知 $x>\dfrac{1}{2}$ 时 $g(x)>0$，$g(x)>g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}>0$
$\therefore f'(x)=\mathrm{e}^{x}\big(g'(x)+g(x)\big)>0$
$\therefore x>\dfrac{1}{2}$ 时 $f(x)$ 单增
$\because f(x)$ 关于 $x=\dfrac{1}{2}$ 对称
$\therefore x<\dfrac{1}{2}$ 时 $f(x)$ 单减
$\therefore f(x)_{\min}=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$。选项 C 错误
对于选项 D
设 $h(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln(1+x)-1$，则 $h'(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{1+x}$
$\therefore x>0$ 时 $h'(x)>0$，$x<0$ 时 $h'(x)<0$
$\therefore h(x)_{\min}=h(0)=0$
$\therefore h(0.1)>0$
$\therefore \mathrm{e}^{0.1}-\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{2}+\ln 1.1$
$\therefore f(\mathrm{e}^{0.1})>f(-\ln 1.1)$，选项 D 正确
答案：ABD