已知正数 $x,y$ 满足 $y\ln x+y\ln y=\mathrm{e}^x$，则 $xy-2x$ 的最小值为_．
解： 因为 $y\ln x+y\ln y=\mathrm{e}^x$，即 $y\ln(xy)=\mathrm{e}^x$，所以 $(\ln(xy))\mathrm{e}^{\ln(xy)}=x\mathrm{e}^x$，所以 $\ln(xy)\mathrm{e}^{\ln(xy)}=x\mathrm{e}^x$．
令 $g(x)=x\mathrm{e}^x\ (x>0)$，则 $g'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x>0$，所以 $g(x)=x\mathrm{e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $\ln(xy)=x$，即 $xy=\mathrm{e}^x$，所以 $xy-2x=\mathrm{e}^x-2x$，
令 $f(x)=\mathrm{e}^x-2x\ (x>0)$．
则 $f'(x)=\mathrm{e}^x-2$．令 $f'(x)=\mathrm{e}^x-2>0$，解得：$x>\ln 2$；令 $f'(x)=\mathrm{e}^x-2<0$，解得：$0<x<\ln 2$；
所以 $f(x)=\mathrm{e}^x-2x$ 在 $(0,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增，所以
$$f(x)_{\min}=\mathrm{e}^{\ln 2}-2\ln 2=2-2\ln 2.$$
即 $xy-2x$ 的最小值为 $2-2\ln 2$．
故答案为：$2-2\ln 2$．