xeˣ + (a·lnx)/xᵃ ≥ 0 恒成立

题目：不等式 $xe^x+\dfrac{a\ln x}{x^a}\ge 0$（$a<0$）对 $\forall x\in(1,+\infty)$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是 。

简析：原式可化为 $xe^x\ge -ax^{(-a)}\ln x$

即 $e^x\ln e^x\ge x^{(-a)}\ln x^{(-a)}$

设 $f(x)=x\ln x$，则 $f'(x)=\ln x+1$

$\therefore\ x>\dfrac{1}{e}$ 时 $f(x)$ 单增

$\therefore\ x>1$，$f(x)>0$

$\therefore\ e^x\ge x^{(-a)}$

$\therefore\ x\ge -a\ln x$

$\therefore\ -a\le\dfrac{x}{\ln x}$

设 $g(x)=\dfrac{x}{\ln x}$，则 $g'(x)=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$

$\therefore\ 0<x<e$ 时 $g(x)$ 单减，$x>e$ 时 $g(x)$ 单增

$\therefore\ g(x)_{\min}=g(e)=e$

$\therefore\ -a\le e$

$\therefore\ -e\le a<0$

故实数 $a$ 的取值范围是 $\boxed{[-e,0)}$。