x²−2x+a=0 两根与 f(x)=x(x²−2x+a) ≤ −(4/7)a

题目：关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+a=0$（$a<0$）的两根为 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），函数 $f(x)=x\left(x^2-2x+a\right)$，若对于任意的 $x\in\left(x_1,x_2\right)$，都有 $f(x)\le-\dfrac{4}{7}a$，则 $a$ 的最小值是 。

答案：$-7$

解析一

由题意，$x_1x_2=a<0\Rightarrow x_1<0<x_2$，故只需考虑 $x\in(x_1,0)$ 即可。

令 $f(x)=x^3-2x^2+ax$，$x\in(x_1,0)$，则 $f'(x)=3x^2-4x+a$，易知 $f'(x)$ 在 $x\in(x_1,0)$ 递减。

又 $f'(x_1)=3x_1^2-4x_1+2x_1-x_1^2=2x_1(x_1-1)>0$，$f'(0)=a<0$，

所以存在唯一 $x_0\in(x_1,0)$，$f(x)$ 在 $(x_1,x_0)$ 递增，$(x_0,0)$ 递减，

故只需 $f(x_0)\le-\dfrac{4}{7}a\Leftrightarrow x_0^3-2x_0^2+x_0\left(4x_0-3x_0^2\right)\le-\dfrac{4}{7}\left(4x_0-3x_0^2\right)$，

即 $7x_0^2-x_0-8\le 0\Rightarrow -1\le x_0<0$，所以 $a=4x_0-3x_0^2\ge -7$，

即 $a$ 的最小值是 $-7$，故填：$-7$。

解析二（切线法）

∵ $x_1x_2=a<0$

∴ $x\in(x_1,0)$，$x^3-2x^2\le a\left(-x-\dfrac{4}{7}\right)$ 恒成立

设 $f(x)=x^3-2x^2$，则 $f'(x)=3x^2-4x$

∴ $x<0$ 时 $f(x)$ 单增，$0<x<\dfrac{4}{3}$ 时 $f(x)$ 单减，$x>\dfrac{4}{3}$ 时 $f(x)$ 单增

设 $g(x)=-ax-\dfrac{4}{7}a$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 切点 $(x_0,y_0)$

$\therefore\ y_0=-ax_0-\dfrac{4}{7}a$　①

$y_0=x_0^3-2x_0^2$　②

$-a=3x_0^2-4x_0$　③

由①和②得 $-a=\dfrac{x_0^3-2x_0^2}{x_0+\dfrac{4}{7}}$　④

由③和④得 $\dfrac{x_0^3-2x_0^2}{x_0+\dfrac{4}{7}}=3x_0^2-4x_0$

$\therefore\ x_0=-1$

$\therefore\ a=-7$