双曲线 MP与MQ斜率乘积

16. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，点 $P$ 在 $C$ 的左支上，$|\overrightarrow{PF_{2}}|=3a$，$|\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}|=2b$，延长 $PO$ 交 $C$ 的右支于点 $Q$，点 $M$ 为双曲线上任意一点（异于 $P,Q$ 两点），则直线 $MP$ 与 $MQ$ 的斜率之积 $k_{MP}\cdot k_{MQ}=$ $\underline{\qquad}$。

解： 设点 $P(x_{1},y_{1})$，点 $M(x_{2},y_{2})$，则点 $Q(-x_{1},-y_{1})$。

$\because \overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}=2\overrightarrow{PO}$，$PF_{2}-PF_{1}=2a$

$\therefore PO=b$，$PF_{1}=a$

在 $\triangle PF_{1}O$ 中，$\cos\angle PF_{1}O=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$；

在 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 中，$\cos\angle PF_{1}F_{2}=\dfrac{a^{2}+4c^{2}-9a^{2}}{4ac}$。

$\therefore \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{a^{2}+4c^{2}-9a^{2}}{4ac}$

$\therefore e^{2}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}=3$

$\therefore k_{MP}\cdot k_{MQ}=\dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\cdot\dfrac{-y_{1}-y_{2}}{-x_{1}-x_{2}}=\dfrac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}$

$\because \dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$，$\dfrac{x_{2}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1$

$\therefore k_{PM}\cdot k_{MQ}=\dfrac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=2$