椭圆 以左焦点为圆心2c为半径

12. 设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$ 的左、右焦点，以 $F_{1}$ 为圆心且过 $F_{2}$ 的圆与 $x$ 轴交于另一点 $P$，与 $y$ 轴交于点 $Q$，线段 $QF_{2}$ 与 $C$ 交于点 $A$。已知 $\triangle APF_{2}$ 与 $\triangle QF_{1}F_{2}$ 的面积之比为 $3:2$，则该椭圆的离心率为（　　）

A. $\dfrac{2}{3}$　　B. $\sqrt{13}-3$　　C. $\sqrt{3}-1$　　D. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$

解： 如上图所示，过点 $A$ 作 $AB\perp x$ 轴。

依题可知圆方程为 $(x+c)^{2}+y^{2}=4c^{2}$，故点 $Q(0,\sqrt{3}c)$，$P(-3c,0)$。

易知 $QF_{1}=QF_{2}=F_{1}F_{2}=2c$，$\angle AF_{2}F_{1}=60^{\circ}$。

设 $AF_{2}=m$，则 $AF_{1}=2a-m$。

$\therefore$ 由余弦定理得 $(2a-m)^{2}=m^{2}+4c^{2}-2\times\dfrac{1}{2}\times2c\times m$

$\therefore m=\dfrac{2a^{2}-2c^{2}}{2a-c}$

$\because AB\parallel QO$

$\therefore \dfrac{y_{A}}{\sqrt{3}c}=\dfrac{m}{2c}=\dfrac{2a^{2}-2c^{2}}{2c(2a-c)}$

$\therefore y_{A}=\dfrac{\sqrt{3}\left(a^{2}-c^{2}\right)}{2a-c}$

$\because \dfrac{S_{\triangle APF_{2}}}{S_{\triangle QF_{1}F_{2}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times4c\times y_{A}}{\dfrac{1}{2}\times2c\times\sqrt{3}c}=\dfrac{3}{2}$

$\therefore \dfrac{2a^{2}-2c^{2}}{2ac-c^{2}}=\dfrac{3}{2}$

$\therefore e^{2}+6e-4=0$

$\therefore e=\sqrt{13}-3$

故选 B。