几个变量最大值的最小值 b−a, c−b, 1−c

14. 以 $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数。设 $0<a<b<c<1$，已知 $b\ge 2a$ 或 $a+b\le 1$，则 $\max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}$ 的最小值为。

简析一

令 $b-a=m$，$c-b=n$，$1-c=p$，其中 $m,n,p>0$，

所以 $\begin{cases} b=1-n-p \\ a=1-m-n-p \end{cases}$，

若 $b\ge 2a$，则 $1-n-p\ge 2(1-m-n-p)$，故 $2m+n+p\ge 1$。

令 $M=\max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}=\max\{m,n,p\}$，

因此 $\begin{cases} 2M\ge 2m \\ M\ge n \\ M\ge p \end{cases}$，故 $4M\ge 2m+n+p\ge 1$，则 $M\ge \dfrac{1}{4}$。

若 $a+b\le 1$，则 $1-n-p+1-m-n-p\le 1$，即 $m+2n+2p\ge 1$，

$M=\max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}=\max\{m,n,p\}$，

则 $\begin{cases} 2M\ge 2n \\ 2M\ge 2p \end{cases}$，故 $5M\ge m+2n+2p\ge 1$，则 $M\ge \dfrac{1}{5}$。

综上可知 $\max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}$ 的最小值为 $\dfrac{1}{5}$。

设 $m=a$，$n=b-a$，$p=c-b$，$q=1-c$

$\therefore m+n=b$，$p+q=1-b$，$\max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}=\max\{n,p,q\}$

依题可知 $n\ge m$ 或 $2m+n\le 1$

$\max\{n,p,q\}\ge \max\left\{n,\ \dfrac{p+q}{2}\right\}=\max\left\{n,\ \dfrac{1-b}{2}\right\}=\max\left\{n,\ \dfrac{1-(m+n)}{2}\right\}$

若 $n\ge m$，则 $\max\left\{n,\ \dfrac{1-m-n}{2}\right\}\ge \dfrac{n+\dfrac{1-m-n}{2}}{2}=\dfrac{1+n-m}{4}\ge \dfrac{1}{4}$

若 $2m+n\le 1$，注意到 $n+4\left(\dfrac{1-m-n}{2}\right)=2-(2m+n)\ge 1$

$\therefore \max\left\{n,\ \dfrac{1-m-n}{2}\right\}\ge \dfrac{1}{5}$

$\therefore \max\{b-a,\ c-b,\ 1-c\}$ 最小值为 $\dfrac{1}{5}$