数列递推式（江苏省南京市、盐城市 2022-2023 学年高三下学期 2 月开学摸底考试数学试卷第 16 题）

注：原文档图片中仅包含 $b_n$ 的分段定义式，题干其余文字未以图片形式保存；以下题干由解答过程反推，完整题干请核对原试卷。

题干（反推）： 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项满足下述分段关系，设

$\{b_n\}$ 为等比数列（公比 $q$），且 $a_2+b_2=24$，求 $a_5$。

解：

$\because b_n=\begin{cases}\dfrac{a_{n+1}}{2}, & n=2k-1\\[6pt] \sqrt{a_{n+1}}, & n=2k\end{cases}$

$\therefore\begin{cases}b_{2n-1}=a_n\\[4pt] b_{2n}=\sqrt{a_{2n+1}}\end{cases}$

$\therefore \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}}=q^2$

$\because a_2+b_2=24$

$\therefore b_3+b_2=24$

$\because b_2=\sqrt{a_3}=\sqrt{b_5}>0$

$\therefore b_2^2=b_2q^3>0$

$\therefore b_2=q^3>0$

$\therefore q^3+q^4=24$

$\therefore q=2$